On observera que, si dans l'équation
on remplace y par -> elle prend la forme
on en déduira, puisque les poljnomes B^"^ ne changent pas quand on échange les lettres a et c,
La même méthode s'applique* aux puissances paires dey; leurs expressions s'obtiendront en partant de la relation du n° 425 où l'on remplace n par 2/2.
On trouvera dans les Tableaux (CXIII) et (CXIV) les expressions des intégrales
jytn-i-l du et i y^^ du.
déduites des relations précédentes et permettant de calculer successivement ces intégrales pour les premières valeurs de n.
V.— Application de la transformation de Landen au déyeloppement
en série entière de la fonction en.
429. On peut, comme l'a montré M. Hermîte (*), obtenir, par une voie tout autre que celle que nous avons suivie, les coefficients des puissances de u^ dans le développement de la fonction cnw.
On sait déjà, par ce qui précède, que dans ce développement le
coefficient en ^-"^(0) de j> ordonné suivant les puissances croissantes de A-, est de la forme
où A^"\ A["\ . . . , A\"^^ sont des quantités purement numériques, qu'il s'agit de calculer.
La formule de transformation de Landen (LXXXII2)
i-k'\ ^ ' ' i-hA'
dn
va nous permettre d'effectuer ce calcul pour chaque indice /i. Cette formule est une identité par rapport à 11 et par rapport à t.
Si l'on chanjjre T en 7^, en donnant à a, 6, c, d des valeurs
rentrant dans le cas 3" du Tableau (XXo) et pour lesquelles A* se
change en y et /' en ± -y- (LXXX5), elle devient
OÙ les signes supérieurs se correspondent. Le second membre se transforme par les formules du Tableau (LXXXe), écrites dans
(• ) Voir Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. LVII, p. 6i3 et p. 993.
ce même cas 3" pour c = o, en
On a ainsi
(/-qzU-)cn[(*±«X:)«, ;^^^37J7j= ^J^^^^^J^ :
on déduit de ces deux relations, par addition, en posant aussi
k db ik' = c*'«, l'identité en u et a
Il suffit de développer chacune des fonctions
cn(e*'*z^, c^*'*), en (m, cosa)
par la formule de Maclaurin et d'égaler les coefficients des mêmes puissances de u dans les deux membres, pour obtenir entre les nombres AJ."' et a la relation
cos [(o.n — i) a] H- AJ/ilj cos [ (2 /i — 3 ) a ] -- A'i'*' cos [ ( 2 /i — 0 ) a ]
-+- \[^li cos [( '?.n — 7)à]-4-..=: cos a -h A'j"^ cos' a -h A^j^^cos^a-f-. . .4- Al^^iiCOS^^-ia;
les deux derniers termes du premier membre sont
Ai/!^j cos 3 a -h Aj,'*J, cosa, quand n est impair;
AJ,^, cos3a -+- Aj/*^ eosa, quand n est pair. "T" î
On transforme aisément le second membre en une fonction linéaire des cosinus des multiples impairs de a. En égalant ensuite les coefficients des cosinus des mêmes multiples de a, on obtient les relations cherchées; on a d*abord A["J^=z1y puis successivement.
en désignant par ( .] le coefficient binomial
