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Ai»), = (•..«-!) -H ^',,

,,„, /•i/i— i\ Ai,"' ^ ,^ AJ?

OÙ Ton doit remplacer A'"^ par i et où, pour n impair, on doit remplacer Tindice |a par — ; — y Tindice v par , tandis que,

pour n pair, on doit remplacer l'indice [x par — ; — et l'indice v

par -• De simples résolutions d'équations du premier degré don-

nent ainsi directement, pour chaque indice /?, les valeurs des constantes A^,"\ A!j"\ . . . , A]/i',, et il importe de remarquer, pour les calculs numériques, que Ton a un procédé de vérification de ces calculs puisque Ton a n équations et n — i inconnues seulement. Comme on Ta fait observer au n" -420, le développement de la fonction dn(^£) se déduit immédiatement de celui de la fonction

cn(f^). La relation

sn'(//) = en (a) tln(M)

permet ensuite d'obtenir aisément le développement de la dérivée de la fonction sn(^/), et, par suite, celui de la fonction sn(z^) ellemême.

La méthode de M. Hermite ne fournit pas seulement un nouveau procédé pour dresser assez facilement le Tableau (XCVI); elle permet d'obtenir aussi la loi de formation des coefficients des polynômes cnf2''^(o) ordonnés suivant les puissances de Xr-.

VI. — Application aux fonctions de Jacobi de la méthode de décomposition en éléments simples.

430. Quand on veut appliquer directement aux fonctions de Jacobi la méthode de décomposition en éléments simples, ce qui permet de retrouver les relations essentielles entre ces fonctions, il convient d'introduire, comme élément simple pour celles de ces fonctions qui sont doublement périodiques de première espèce dans le parallélogramme des périodes o, 2K, 2(K-f- /K'), 2iR', la fonction impaire Z(w) définie au n'^Slô; elle admet, comme pôle unique et simple dans le parallélogramme, le point îK.'; son résidu relatif à ce pôle est i ; elle s'annule pour w = o et w = K et jouit des propriétés mises en évidence parles formules (LXXIXj.a) qui montrent clairement comment elle peut jouer un rôle analogue à la fonction ^u^ en sorte que toute fonction doublement périodique de première espèce dans le parallélogramme considéré est, à une constante additive près, une fonction linéaire de quantités telles que Z{u — a), Z(w — b) et de leurs dérivées; les constantes a, 6, ... n'étant autres que les affixes des pôles de la fonction considérée, diminuées de iK.',

Il est a peine besoin de dire que les fonctions „, , > ïïVt» :r-z —

^ ^ ^ n(«) Hi(m) 61(1/;

peuvent jouer le rôle que nousvenonsd'attribuerà la fonction Z(w).

431. Quand on se sert comme élément simple de la fonction Z(w), il est souvent commode, surtout pour la détermination de la constante additive, d'avoir les premiers termes du développement de cette fonction en série entière. On les obtient aisément au moyen des formules (CII4) en utilisant le développement de snu. On trouve ainsi

(CII7) Z(u) = Z'(o) -" - 2A-« ^ 4- SkHk^-h I) ^ -. . . .

432. De même que l'on substitue aux quantités (0|, (03 les quantités K et Réintroduites par Legendre, on remplace, dans le même système de notations,. les quantités Th, tjs par les quantités E, E'

que définissent les égalités

On remarquera (n° 406) que le premier membre de Fégalité (i) est égal à Z'(o).

L'introduction de ces notations permet d'écrire la relation (Clle)

sous la forme

dn*M = I? "+" Z'(w).

On en déduit immédiatement, en se rappelant que Z(o) et Z(R) sont nuls, la formule

(Gllg) f àn^{u,k)du = E,

où l'intégrale qui figure dans le premier membre est prise suivant le segment de droite qui va de o au point K. Si maintenant on fait la transformation

Ûi = U)j, Ûj=— toi,

qui, ainsi qu'il résulte des formules (LXXX3 5), donne

/ = /,', /' = A, L = K', L' = K, /ki -^^ - — i /^^^^3 et

notre dernière formule deviendra

(CII9) Ç dn«(", A')ûfw = E',

où l'intégrale qui figure dans le premier membre est prise suivant le segment de droite qui va de o au point K'.

Observons que la relation rl\i^i^i — ^^3(04=:— peut s'écrire

i^j T^ia

K/ei — ej tKV^i-ea '^^^"

si donc on introduit E, E' au moyen des relations (CII|,2)i elle prend la forme

(GII3) EK'-i- E'K - KK' = -,

qui est celle sous laquelle elle s'est d'abord présentée à Legendre. Relativement au même parallélogramme o, 2K, 2(K4-«K'), 2«K' et pour les fonctions de seconde espèce, M. Hermite a employé comme élément simple, dans une suite d'importantes recherches, la fonction de u

qui ne diffère pas au fond de îa fonction X{u)j comme nous l'a- "vons montré au n° 371. Elle admet pour pôle unique et simple le point o; le résidu relatif à ce pôle est i.