SUITE DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX

433. Considérons une fonction doublement périodique (* ) du second ordre F(w) aux périodes 2W|, 2W3 et supposons d'abord que ses deux pôles a, b soient distincts; a, b seront aussi les pôles de la fonction doublement périodique du second ordre F(w) — F(wo); comme Uq est un zéro de cette fonction, son second zéro sera a -i- b — Wq et Ton aura F (a +6 — Uq) — F(uo) = o; comme Uq est quelconque, la fonction F(u) prend donc les mêmes valeurs pour deux valeurs de u dont la somme est

a -h b. On peut dire encore que la fonction F( h u) est

paire; les pôles de cette dernière fonction sont ih ; ils sont

distincts des points o, (O4, 102, 0)3. La dérivée F'( — \- u\ de

cette même fonction est impaire et n'admet pas de pôles distincts

des pôles de la fonction F( — ^ h w) ; étant impaire et étant finie

pour u =z o, elle est nulle pour cette valeur; elle est nulle aussi pour w = (Ojx : en effet, les deux quantités finies F'f — ; HWaj,

F'f — ; Wa] doivent être égales et de signes contraires puisque

la fonction F' ( h «) est impaire, et égales puisque 2(i>a est

une période de la fonction F'(u). Ainsi les quatre zéros, évidemment simples, de la fonction du quatrième ordre F'(w), sont

i J-Wl, 1- W|i h 11)3.

(') Dans tout ce Chapitre il ne sera question que de fonctions doublement périodiques ordinaires.