SUITE DES THÉORÈMES GÉIHÉRAUX

La fonction doublement périodique

est du huitième ordre; ses zéros sont en évidence; chacun esl double, puisque la dérivée de chaque facteur s'annule pour le zéro correspondant; elle admet les mêmes zéros, au même degré de multiplicité que la fonction F'^(u); elle admet aussi les mêmes pôles, au même degré de multiplicité; le rapport des deux fonctions ^(w), F'^(w) est donc une fonction doublement périodique qui n'admet pas de pôles : c'est une constante; par conséquent :

Toute fonction doublement périodique y de la variable u, du second ordre, à pôles distincts, vérifie une équation différentielle de la forme

ou M, A, B, C, D sont des constantes.

Soit maintenant^ =/(m) une fonction doublement périodique du second ordre admettant le pôle double a. On reconnaît, comme précédemment, que la fonction y(a + u) est paire et que son pôle est distinct des points (o«, (02, CJ3; puis, que la fonction du troisième ordrey'(w) n'admet pas d'autres zéros que les points a + W|, a-k-iù^^ a-\-iùz\ par conséquent :

Toute fonction doublement périodique y de la variable //, du second ordre, à pôle double, vérifie une équation différentielle de la forme

où M, A, B, C sont des constantes.

Telle est, par exemple, la fonction pu. Il résulte de là que les dérivées d'ordre pair d'une fonction doublement périodique du second ordre y sont des fonctions rationnelles entières de y^ et que les dérivées d'ordre impair sont égales au produit de ^ par

une fonction rationnelle entière dey. Nous allons généraliser ce théorème.

434. Soit cp(w) une fonction doublement périodique du second ordre, dont les périodes soient aw,, 2(03 et dont les pôles soient a, 6. Toute fonction doublement périodique ^(w), admettant les mêmes périodes que 'f ( ")? et telle que l'on ait ^ (a -{- è — u)=^ (w), s'exprime rationnellement au moyen de ^(u). Le cas où la fonction ^{u) admettrait un pôle double a = b n'est pas exclu.

Le théorème sera démontré si l'on prouve que la fonction

■^ — \~~n^ OÙ A et B désignent des constantes, s'exprime rationnellement au moyen de 'f (w); or on peut toujours déterminer les constantes A et B de manière que la fonction t-t— 7 — 5 » Quî jouit

des mêmes propriétés que la fonction 4>( w) et dont les pôles et les zéros sont respectivement les solutions des équations ^{u) — B = o, 4>(w) — A=:o, n'ait aucun pôle ou aucun zéro qui coïncide soit

avec a, soit avec b, soit avec ; nous pouvons donc faire immédiatement cette hypothèse sur la fonction ^(w).

Dès lors, si a est un zéro ou un pôle de celte fonction, a-i-b — a sera un zéro ou un pôle, distinct de a, du même ordre de multiplicité ; la fonction 4> ( w) aura un nombre pair de zéros et de pôles ; elle sera d'ordre pair 2/1, et l'on pourra représenter /i de ses pôles parai, ao, . . ., a;,, les autres pôles étant a-hb — a,, a -(-6 — as, ..., a-{- b — a«; de même, on représentera n de ses zéros par ^i, ^2, ..., P„, les autres étant a -\- b — ^,,«4-^ — ^21 • - -i ci -^ b — '^n- Si maintenant l'on considère la fonction doublement périodique

^,.(^) ^ [?(^O-cp0i)][?(^O-?rpi)l...[?(a)-?(^„)]

on reconnaît qu'elle admet les mêmes zéros et les mêmes pôles que la fonction ^{u) au même degré de multiplicité; elle lui est donc identique à un facteur constant près, et la proposition est démontrée.

Notons, en passant, cette façon très remarquable de représenter une fonction doublement périodique telle que <I>u^), de manière à mettre en évidence ses pôles et ses zéros. Le cas où ^(w) et