SUITE DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX

f{u) sont des fonctions paires est parliculièrement digne d'attention.

Les formules (LXXXVIl4 6), (LXXXIX4 6), (CX4 o), ainsi que les formules analogues que Ton peut établir pour les fonctions i, et dont l'une a été obtenue au n** 337, peuvent être regardées comme des exemples.

435. Soit9(e^) une fonction doublement périodique du second ordre. Toute fonction doublement périodique ^{u), ayant les mêmes périodes queo{u)y s'exprime rationnellement au moyen de ^{u) et de sa dérivée ?'(w). Soient, en effet, a, b les deux pôles de 7(2/), les deux fonctions doublement périodiques

/(u) = <P(u)-h^(a-hb-'U), fi(u)= '- ^^^

jouissent évidemment des propriétés qu'expriment les équations

ce sont donc des fonctions rationnelles de (p(tt); on a d'ailleurs

et la proposition est démontrée.

En particulier, si l'on prend pour 'f («) une fonction paire, on voit que toute fonction doublement périodique paire ^(w), ayant mêmes périodes que ç(w), s'exprime rationnellement au moyen de 'f(w) seulement.

436. D'après la dernière des propositions que nous venons d'établir, toute fonction doublement périodique aux périodes 2w,, 2(03 est une fonction rationnelle de jdw, p' u.

Il importe d'observer que cette dernière conséquence résulte très simplement de la formule de décomposition en éléments simples. Soit, en effet, /(w) la fonction doublement périodique considérée, dont nous désignerons pour un moment les pôles distincts par <2|, l'ordre du pôle ai étant a/. Si, dans la formule

/{ « ) = C -<- 2 [A"' ;(" - ai) -h A'/' ;'(« - a/) + . .+ Aii;L, Si»--" (« - a/;J,

8o ' CALCUL INTÉGRAL.

on remplace t(u — aA et ses dérivées par Çw — tui-j-- — ^>

et les dérivées de cette quantité, qui sont des fonctions rationnelles de pu et de p'w, puisque toutes les dérivées de pw sont des fonctions entières de pu et de p' u^ on voit de suite quey(w) s^exprime aussi rationnellement au moyen des mêmes quantités; en effet, après la substitution, le coefficient de "C^u est 2A('\ qui est nul. La proposition annoncée est établie.

Il résulte de ce raisonnement et des expressions des dérivées de pu au moyen des puissances Ae pu que, si la fonction doublement périodique n'admet dans le parallélogramme des périodes que le pôle zéro, lequel est nécessairement multiple, elle est une fonction entière de pw et de p' u. On reconnaîtra sans peine que si ce pôle unique est d'ordre n, ainsi que la fonction doublement périodique /(w), celle-ci se mettra sous la forme A + Bp'w, A étant

un polynôme en pu dont le degré sera égal à - quand n est pair,

plus petit que — quand n est impair, et B un polynôme en pu

dont le degré sera égal à quand n est impair, plus petit que

— ; — quand n est pair.

437. Dans le cas général, en procédant comme on Ta expliqué, y(w) se met sous la forme

A -4- Bp'M

A, B, D étant des polynômes en pu. On parvient à cette même forme par un procédé un peu différent qui va nous fournir sur les polynômes A, B, D quelques renseignements utiles.

Nous nous bornerons, pour simplifier, au cas où la fonctiony(M) n'a point de pôle ou de zéro qui soit nul; s'il en est autrement, le lecteur verra sans peine les petites modifications qu'il convient d'apporter à l'analyse suivante.

En supposant que la fonction /(m) soit d'ordre /i, on peut la mettre sous la forme (n** 391)

a'(M -- h\)(S{u — 6j). . .a'(w — bn)

SUITE DBS THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 8l

OÙ C désigne une constante. On ne suppose pas que les nombres ^/i, a^^ ..., an soient distincts, non plus que les nombres &i, 62, ..., bn\ mais les premiers nombres sont nécessairement tous différents des seconds. On a alors, en tenant compte de Tégalité (VII,),

en posant

D = (pM — pa,)(pa — pa,). ..(pM— pa«),

F (m) est une fonction doublement périodique d'ordre 2/1, n'admettant dans le parallélogramme des périodes que le pôle o; cette fonction F(w) est donc de la forme A-[-Bp'w, où A et B sont des polynômes en pu^ dont le premier est de degré n et le second au plus de degré n — 2.

438. Observons que le produit F( w) F( — //), toujours à cause de l'égalité (VII,), est égal à

oiiy remplace pu\ on aura donc

A«- Bîp'î w = A*- B«(4j^î- ^,j^ - ^,)

^ T CCI . . . ^ c*/| /

Il résulte de là que le polynôme A^ — B^(4j^^ — g2y — 5^3) est divisible par D et que le quotient, qui n'est autre chose, à un facteur constant près, que {y — pf^\){y — P^2)--*0' — P^//)» est premier à D.

Les fonctions y =zpu el z =/(?/) ^:= *^ , à cause de la

relation p'=* u = ^y^ — g^y — gzi sont liées par la relation

ou

D^- — 2A-3 H pr = = O.

T. Cl M. — m. 6

D'après ce que l'on vient de dire, cette relation est entière; elle est du second degré en 5, du /i**°* degré en y\ enfin, le premier membre n'est pas divisible par un polynôme qui contienne y seulement. Cette conclusion subsisterait dans le cas où la fonction y(w) admettrait quelque pôle ou quelque zéro qui serait nul.

On observera encore que le premier membre de cette équation ne peut être décomposé en un produit de deux polynômes entiers en y^ z^ sauf dans le cas où B serait identiquement nul, c'està-dire où z serait une fonction paire. En effet, il n'est pas divisible par un polynôme contenant y seulement; il n'est pas divisible par un polynôme du second degré en ^, sans quoi le quotient serait un polynôme en y seulement; il reste à supposer l'existence d'un diviseur du premier degré en z\ dans ce cas, les deux racines de l'équation en z seraient rationnelles en y, ce qui n'est possible que si 6^(4^^' — g^y — 5^3) est un carré parfait; or cela n'a lieu que si B est identiquement nul. Ainsi, sauf dans le cas où B est nul, le premier membre de l'équation considérée n'est pas le produit de deux polynômes entiers en ^ et 5; il en résulte en particulier que le discriminant de cette équation, considérée comme une équation en y, n'est pas identiquement nul et que cette équation a ses n racines distinctes, sauf pour des valeurs particulières de z^ en nombre limité.

439. Dans leur belle Théorie des fonctions elliptiques, Briot et Bouquet sont allés plus loin dans la voie ouverte par Liouville et ont établi quelques nouveaux théorèmes parmi lesquels le suivant, qui est fondamental.

Entre deux fonctions doublement périodiques, admettant les deux périodes 2w,, 210^, il existe une relation algébrique.

En effet, si l'on pose

y = p{u I (ui, a>s), y = p'{u\ (D,, 0)3)

et si l'on désigne par ^ et ^ les deux fonctions de u considérées, on pourra les mettre sous la forme

SUITE DES THÉORbMBS GÉNÉRAUX. 83

en désignant par A, B, D, *l,, Db, CE) des polynômes en y. En élîminant^ Qiy entre ces relations et la relation

OQ obtiendra une relation

qui devra être vérifiée quel que soit u,

440. Inversement, si Ton considère un système de valeurs en j, t qui vérifient cette équation, il existera un système de valeurs y^y ({MX vérifieront les trois équations (a), (P)-, d^ailleurs, à un système de valeurs j^,^ qui vérifient Téquation (P), correspond, dans le parallélogramme des périodes, une valeur de u qui fait acquérir à pu^ p' u les valeurs j^, y\ par suite, tout système de valeurs de z, t qui satisfont à Téquation (y) peut être considéré comme un système de valeurs des fonctions z^ t qui correspondent à une même valeur de u.

R(5, t) est un polynôme en ^, t. Il peut être divisible par un polynôme en z, dont les racines correspondent aux valeurs de 2/, qui annulent simultanément *l> -f- ilî>j/^ et 00; il peut de même être divisible par un polynôme en /. Supposons, d'une façon générale, que Ton ait

©(5) et ^{t) désignant respectivement des polynômes qui contiennent, l'un la variable z seulement, l'autre seulement la variable t, et 0'<(^, t)^ (?a(^> 0> • • •> désignant des polynômes irréductibles contenant les deux variables z^ t; en disant que ces polynômes sont irréductibles, nous entendons que l'un quelconque d'entre eux n'est pas le produit de deux polynômes.

Quand on regarde dans l'identité précédente z et t comme les fonctions données de u^ le premier membre est identiquement nul; le second membre est un produit de facteurs dont chacun est une fonction analytique de u\ l'un de ces facteurs est donc identiquement nul; en effet, le produit de deux fonctions analytiques dont aucune n'est identiquement nulle n'est pas lui-même identiquement nul, comme on le voit de suite en se reportant à la

règle de la multiplication de deux séries entières. Or il est clair que les fonctions '^(>3), '}(/), regardées comme fonctions de w, ne peuvent pas être identiquement nulles puisque, dans le parallélogramme des périodes, elles ne s^annulent que pour un nombre fini de valeurs de u ; c'est donc un des polynômes Ç 4 (5, t)^ (/a (^, /),... , qui s^annule identiquement quand on y regarde z qI t comme les fonctions données de u\ nous le désignerons par ^(5, /).

Nous allons montrer que tous les polynômes Çi (5,^), (1*2(5, ^), ..., considérés comme des fonctions de z^ /, sont identiques à Ç(-2, t). Considérons, en effet, un système de valeurs ^q, t^ qui annuleut, par exemple, le polynôme ffi(3, t)] R(-Soî ^0) est nul; donc, d'après ce que Ton a dit au début, il existe une valeur u^ de u qui fait acquérir les valeurs Zqj Ùq aux fonctions 2, t\ puisque la fonction (J{z^ t) s'annule identiquement quand on y regarde 5 et ^ comme les fonctions données de u, il faut que ^J{zof Iq) soit nul ; ainsi, toutes les solutions de l'équation Çi (z, t) = o vérifient l'équation 5(5, t) = o. Puisque les deux polynômes (j*<(5, t), Ç{Zfi) sont irréductibles, il faut qu'ils soient identiques à un facteur constant près. Le même raisonnement s'appliquant aux polynômes Ç2('3, ^), . . . , il est clair que l'on pourra poser

où V est un nombre entier, et l'équation Ç(-2, t) = o jouit des propriétés suivantes que nous rappelons : elle est irréductible; elle est vérifiée pour tout système de valeurs des fonctions 5, t qui correspondent à une même valeur de u] si l'on considère un système de valeurs Sq, Cq qui la vérifient, il existe une valeur //©de 1/ qui fait acquérir les valeurs Zqj Iq aux fonctions z^ t,

441. Désignons par w, n les ordres respectifs des fonctions doublement périodiques z^ t.

L'équation Ç(5, /) = o, considérée soit comme une équation en 3, soit comme une équation en i, n'a de racines égales que pour un nombre fini de valeurs de /, ou un nombre fini de valeurs de z, puisqu'elle est irréductible. Considérons-la, par exemple, comme une équation en i, en donnant à z une valeur Z|, pour laquelle l'équation Ç(>3<, /) = o n'ait pas déracines égales et qui, en outre, soit distincte des valeurs que prend la fonction :; quand on y rem-