SUITR DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX
dz place u par l'une des valeurs qui annulent -j^' Il j^ aura alors, dans
le parallélogramme des périodes, m valeurs distinctes de m qui feront acquérir à -3 la valeur z^ ; désignons-les par W|, «2, . . ., Um^, et désignons par t^^ t^^ ^'-i tm les valeurs correspondantes de /; ces dernières valeurs vérifieront l'équation Ç(si, ^) = o; aucune autre valeur de t ne vérifiera cette équation dont aucune racine n'est double et dont, par conséquent, le degré en t sera exactement égal au nombre des quantités ^i, /2; • • m ^m 9^^ seront distinctes. En particulier, si toutes ces quantités sont égales, t sera une fonction rationnelle de z. Un raisonnement analogue s'applique au degré en z du polynôme Ç(>5, t).
dz 442. Supposons, en particulier, que t soit la dérivée z' = -^
de la fonction z : on voit tout d'abord quily a une relation algébrique entre une fonction doublement périodique et sa dérivée. Cette dernière proposition, que l'on connaissait avant le théorème général, est due à M. Méray.
Il est aisé de voir que cette relation
est, en z\ de degré m égal à l'ordre de la fonction z. Nous montrerons pour cela que, si deux valeurs incongrues de u font acquérir à 2 la même valeur, elles feront acquérir à z! des valeurs différentes. Cela résulte, ainsi que l'a fait remarquer M. Weierstrass, de ce que les égalités
az dz dz* dz dz dz* dz
déterminent sans ambiguïté les dérivées successives x^', z!'\ ... en
dC
fonction de z, z\ pourvu toutefois que la dérivée partielle -p; ne
soit pas nulle. Si donc deux valeurs r/|, u-x faisaient acquérir une même valeur à la fonction z d'une part, à la fonction z^ de l'autre,
elles feraient acquérir la même valeur à 5", à 5'", En désignant
pour un instant par/(w) la fonction 5, on voit que les deux développements de Taylor des deux fonctions de A,/(M«-h A) et y (1/2+ A), seraient identiques; par suite, puisqu'il s'agit de fonc-
lions analytiques, ces deux, fonctions seraient égales pour toute valeur de A, et, en remplaçant h par u — «/<, on aurait donc, pour toute valeur de u^ f{ii-\-U2 — W|) =/(u), ce qui exige que Wj — W| soit une période; en d'autres termes, que les points w<, U2 soient congruents, contrairement à l'hypothèse.
L'équation Ç{Zj z') = o est donc de la forme
Zj ;;''«-+- Z, x;''"-» -t- ...-+- Z,„ = o,
où Zo, Z|, . . ,,Zm sont des polynômes en z; le premier est une constante, puisque, pour toute valeur finie de 5, la fonction ^ (don t les pôles ne sont pas distincts de ceux de z) a une valeur finie ; de
plus, Zm-i est identiquement nul; en effet -~^ est, au signe près,
la somme des inverses des valeurs de z' qui correspondent à une valeur donnée de :;. Désignons par ;/,, U2. ..., tim les valeurs de // qui correspondent à la valeur Z] m,, W21 • . , w^ pourront être regardés comme des fonctions de ^, et la règle de dérivation relative aux fonctions inverses montre que l'on a
Z,;,i dui duf du
Z/M dz dz dz
puisque la somme Mj -f- ^2-!-. . . -H Um est constante, on voit que le polynôme 7jm-i doit être identiquement nul (').
443. Le théorème du n** 439 admet la réciproque suivante (-) :
Si les deux fondions doublement périodiques F(w), ^(w), admettant respectivement les périodes awi, 2(03, aw^, aw,, sont liées par une relation algébrique, les quatre périodes se réduisent à deux, c'est-à-dire qu'elles sont des fonctions linéaires à coefficients entiers de deux périodes.
Soit, en effet,
(8) R[F(w), cI>(a)] = o
la relation algébrique entre F(w) et 4>(w); on en conclut, en po-
(') Briot et Bouquet, Fonctions doublement périodiques, 1" édit., p. 90. (2) Voyez Jordan, Cours d'Analyse à l'École Polytechnique, 2' édit., t. II, p. 344.
