SUITE DBS THÉORÈMES GÉNÉRAUX

sant 3 = a[x(i), + 270)3-1- a/icoi, où [jl, v, n sont des entiers, que Ton a

comme on le voit immédiatement en changeant d'abord, dans (a), u en w -f- 2nw,, ce qui n'altère pas F(//), puis dans 4>(i/4-2/i(04) seulement, m en m H- 2[jlw,+ î^vwg, ce qui n'altère pas ^(w).

D'ailleurs, on a vu (') que, si les trois nombres 2W|, 2(0',, 20)3 ne sont pas des fonctions linéaires à coefficients entiers de deux nombres, on peut choisir les entiers [jl, v, n de façon à rendre 8 aussi petit qu'on le veut, en valeur absolue. Il en résulte, puisque R[F(m), ^(ii-h 8)] est développable en série entière suivant les puissances de S, que cette quantité, regardée comme fonction de 8, est identiquement nulle ; si l'on pose w + 0 = w', l'égalité

sera vérifiée, quels que soient u et w', et, par conséquent, quels que soient F(tt) et<I>(a'); tous les coefficients du polynôme en F, ^ qui figure au premier membre seraient nuls.

444. Revenons au cas général et reprenons les notations du n° 439; si les deux polynômes B et iH» étaient identiquement nuls, z et t seraient des fonctions rationnelles de y et l'on formerait sans peine l'équation entre z et i, en éliminant j^. Supposons que le polynôme B ne soit pas identiquement nul, on pourra procéder comme il suit :

De la première équation (a), on iirey et, en portant dans l'équation (P), on trouve, comme on l'a vu au n^ 438,

cette équation est entière en z et y^ du second degré en 5, du ^ième degré en y et elle est irréductible. Des deux équations (a) on tire, en éliminant j^',

, , , cUbB — A'ift>-+-'\il)D>5 <"'^ '= ^B ^

le second membre est une fonction rationnelle en y. Si, entre les équations (s) et (y^) on élimine y, on formera une équation

de degré m en t\ les m racines de cette équation, quand qn donne à z une valeur particulière, sont les m valeurs que prend la fraclion, rationnelle en y^ qui forme le second membre de l'équation (r,), lorsqu'ony remplace j^ par les m racines de l'équation (Ç) envisagée comme une équation en y.

Ceci posé, supposons que l'équation (en C) Q(5, /) = o n'admette de racines multiples que pour des valeurs particulières de 5, et soit Uq une valeur de u qui fasse acquérir à la fonction z une valeur 5o distincte de ces valeurs particulières; soient i^y y^ les valeurs des fonctions /, y pour a = u^. L'équation Q(5o, /) = o admet la racine simple 1 = 1^] d'après la théorie de l'élimination, les deux équations en y, (Ç) et (tj), dans lesquelles on remplace z et t par i^o et ^0, n'admettent donc qu'une racine commune, et cette racine commune est nécessairement yo» cette racine commune unique s'obtient par des opérations rationnelles; ainsi y^ s'exprime rationnellement en ^o? ^o > ^^ raisonnement s'appliquant à toutes les valeurs de u, sauf un nombre fini de valeurs exceptionnelles dans le parsUélogramme des périodes, on voit que y=zpu est une fonction w^ationnelle de ^ et de ^ ; il en est de même de

d'ailleurs toute fonction doublement périodique s'exprime rationnellement au moyen de y, y'; donc ( * ) •*

Si z et t sont deux fonctions doublement périodiques, aux périodes atoi, 2(03, si z étant d'ordre m, les m valeurs de t qui correspondent à une valeur donnée de z sont en général distinctes, toute Jonction doublement périodique, aux périodes 2W|, 2(1)3, s'exprime rationnellement au moyen de z et t.

(*) Cette proposition est contenue comme cas particulier dans un théorème de M. Weierslrass relatif aux fonctions a r fois périodiques de r variables {Cretle, t. 89; Œuvres, t. Il, p. iSa).