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445. Ce théorème s'applique en particulier au cas où t est la dérivée de z (n° 442). Ainsi, toute fonction doublement périodique est une fonction rationnelle d'une fonction doublement périodique arbitraire, admettant les mêmes périodes, et de sa dérivée. Cette dernière proposition, qui est une généralisation du théorème de Liouville du n° 433, est due à Briot et Bouquet.

Si F(m) est une fonction doublement périodique à périodes aco,, 2CO3, il en sera de même de la fonction ¥{u-\- v) regardée comme une fonction de u\ la fonction F(w + (^) est donc une fonction rationnelle de F(z/), F'(w); il est à peu près évident que les coefficients de cette équation sont des fonctions rationnelles de F(t?), F'(^), dont les coefficients ne dépendent ni de u ni de v. Au reste, il ne subsistera aucun doute dans Tesprit du lecteur s'il remarque que F(m-|-^) peut s'exprimer rationnellement au moyen de p(w -I- i'), p'(m H- v) par exemple; que, en vertu des formules d'addition (VII3), ces quantités s'expriment rationnellement au moyen de pu, pVj p' u^ pV, et qu'enfin pu, p' u s'expriment rationnellement en fonction de F(m), F'(m); tandis que pv^ p'v s'expriment rationnellement en fonction de F(ç'), F'(('), d'après le théorème précédent. Ainsi ¥{u-{'v) s^exprime rationnellement au moyen de F{m), F(('), P(w), F'(ç^).

En prenant la dérivée de cette fonction rationnelle par rapport à u et en tenant compte de ce que la fonction doublement périodique F''(w) s'exprime elle-même rationnellement au moyen de F(tt), F'(tt), on déduit du théorème précédent que la fonction F'(a -f- s?) est elle aussi une fonction rationnelle de F (m), F'(w), F(('), F'(('). Il en est de même des dérivées de tous les ordres de la fonction ¥{u -\- v). Les mêmes résultats s'appliquent d'ailleurs à la fonction F(m-+- v'-j-c), où c désigne une constante quelconque, puisque ¥[u-{-v-\-c) est une fonction rationnelle de ¥{u-\- v) et de F'(w -+- i^).

446. Si x=^¥{u) est du second ordre, sa dérivée ¥'{u) est égale (n** 433) à la racine carrée d'un polynôme /(a:) du troisième ou du quatrième degré; si l'on pose en OMlve y =^¥ {v)^ z = ¥ (^w)^ on en conclut que, si u, v, w sont liées par la relation

go CALCUL INTÉGRAL.

OÙ c est une constante quelconque, z et y// (^) s'expriment rationnellement en fonction de x, )Jf{x)^ y, ^f{y)' C'est encore un cas particulier du célèbre théorème d'Abel (*); il se réduit, pour w = o, à une proposition due à Euler, sur laquelle nous reviendrons au Chapitre IX, proposition qui a été le point de départ des principaux travaux des Géomètres qui ont fondé la théorie des fonctions elliptiques.

447. Revenons au cas général où F(m) est d'ordre quelconque. Comme F'(w), F'(ç^) sont liés à F(m), F(i^) par des relations

algébriques

O'lF(a), F'(a)] = o, g[F(P), F'(P)] = o,

on conclut, du théorème démontré au n** 445, qu'il y a une relation algébrique

entre ¥{u + v)^ F(w), F(p), dont les coefficients ne dépendent pas de u et de v.

Quand une fonction F(w) jouit de cette propriété, on dit qu'elle a un théorème algébrique d'addition. Toute fonction doublement périodique F{u) a donc un théorème algébrique d'addition.

Quand une fonction F(m) jouit de la propriété que F(w -+- ^) est une fonction rationnelle de F(«), F(ç'), F'(;/)-, F'(ç'), on dit qu'elle admet un théorème algébrique d'addition uniçoque. Toute fonction doublement périodique F(w) admet donc un théorème algébrique d'addition univoque,

448. Il convient de rapprocher des théorèmes que nous venons d'établir d'autres théorèmes qui peuvent être regardés comme leurs réciproques. La démonstration de ces théorèmes repose sur des propositions de la théorie des fonctions que nous avons voulu éviter. Ce sont eux qui servent de point de départ à l'exposition magistrale de la théorie des fonctions elliptiques que M. Weierstrass a donnée dans ses Cours à l'Université de Berlin (-).

La fonction analytique la plus générale, ayant un théorème

(') Œuvres, t. I, p. i45 (nouvelle édition i88i). (') ScHWARZ, Formules, elc, n" 1, 2.

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d^additioD univoque, ne peut être qu'une fonction analytique univoque se comportant aux environs de tout point fini comme une fonction rationnelle : elle ne peut avoir, dans une région finie quelconque du plan, qu'un nombre fini' de pôles; elle ne peut prendre, dans cette région finie quelconque du plan, qu'un nombre fini de fois une valeur déterminée arbitrairement fixée. On en conclut qu'elle ne peut élre qu'une fonction rationnelle, ou une série entière, ou le quotient de deux séries entières. On démontre d'ailleurs que, dans ces deux derniers cas, elle est nécessairement périodique; mais les fonctions univoques périodiques ne peuvent être, comme nous l'avons montré (n® 83), que simplement ou doublement périodiques.

Les fonctions doublement périodiques ont toutes un théorème algébrique univoque d'addition. Relativement aux fonctions simplement périodiques ayant un théorème algébrique univoque d'addition, on démontre qu'elles sont des fonctions rationnelles de