I. — Théorèmes d'addition pour la fonction pu

449. Nous avons rencontré, à plusieurs reprises, les formules relatives à V addition de Targument dans les fonctions doublement périodiques. Nous allons maintenant nous occuper plus spécialement de cette question.

Rappelons d'abord les formules (VII3) établies à nouveau au n** 396, et d'où l'on déduit immédiatement les relations

(CIIIO

(CIII

t(u-^a)~- t{u — Cl) — 'i.tu — — — »

pu — pa

î(a-i-a) — t{u — a) — 'ita— :

I \ / ^ P'^^ — P''f^(pf' — P^) p{u-\-a)-hp(u — a) — ipu= ^ — i li — ^£l i,

X , V — p' up' a

p(u-^a) — p(u — a) = , — - — - — -; ^^ ^ ^^ ^ {pu-pa)^'

pu — pa pUi I p' u—p'a

(CIII

[p{u^a) — pu]

^ pu 'ip u x pu—pa

r/ X tP<ï — pu p" a

La quantité

/ V / V ipu{pu—pay-^p"^u — p" uipu — pa) i)(a4-a) + p(m — a) = — — — ^-—^ — ^-^ — :

est symétrique par rapport à 2/ et a, et c'est une fonction paire

ADDITION ET MULTIPLICATION. qS

de il et de a; le second membre doit pouvoir se mettre sous une forme qui mette ces propriétés en évidence; en exprimant tout en fonction entière de pu, développant et réduisant, on trouve, pour le numérateur du second membre,

on a donc

Celte équation, avec la seconde des équations (CIII2), conduit immédiatement au résultat suivant :

(GIIU) p(«±a) = ^P"^P°>^''P"P"-^-^')-'^' + P'"^'". '^ '^ 2(pu — pa)*

Le lecteur établira sans peine, au moyen de ces formules, les relations ( ' )

(CIU)

(5) p(a±:a)-f- pu-4-pa = 7 ( ^- — ^^ ),

ipupa-^^\ -^ gi(pu-hpa)

{pu — pay

puis la relation

(pupa-hY) -+-a/r8(P"-Hpa)

{pu-^pa)(2pupa~-^gi) — gz^zp up'a qui, pour u=^ a, donne

(GIII7) p{iu) r-- : 14-

Ainsi pu est une fonction rationnelle de p f - j > donc aussi de

p(— j où m est un entier positif quelconque; c'est là un cas particulier d'un théorème que nous établirons dans le paragraphe

(') Koir ScHWARZ, Formules et propositions pour V emploi des fonctions elliptiques, traduction de M. Padé; article 12. — C'est à cette édition française que nous renverrons dorénavant.

suivant. En faisant u =^ a dans la formule (CIII5), on a immédiatement cette seconde expression de p(2M),