Si l'on pose, pour abréger

x = p{U'\-a), y = pu^ z = - '- '- — ,

*^ '^ 1 p u — pa

on peut écrire les relations (CIII3), (CIII5), (VII3),

(a: — pa)(j^ — pa) = - p'a — zp'a,

Mé

x-\-y^z^-pa, (x-jr^r-. ^^j ;

en éliminant ;r et j^ entre ces trois relations, on a

(-T-) =5^ — 65'pa-f- 4^p'« -Hgp'ûf — tip'a.

Nous savionsdéjà, parle théorème de Liouvîlle(n®433), que toute fonctions doublement périodique du second ordre de la variable u

vérifie une équation différentielle de la forme (-r^) =^J{z)t oii

f{z) esl un polynôme du troisième ou du quatrième degré en z; nous connaissons maintenant la forme particulière de ce polynôme pour la fonction :; = - — ; cette forme nous sera

* 'JL pu — pa

utile plus loin.