Considérons la fonction de u
I pu p u i pa p'a 1 pb p'b
OÙ a et 6 sont des constantes. Il est clair que J{u) est une fonction doublement périodique du troisième degré et que o est un pôle triple, sauf dans le cas où le coefficient de p' u s'annule, c'est-à-dire sauf dans le cas où l'on a
a^=b (inodd. 2toi, 2(1)3);
ADDITION ET MULTIPLICATION. g5
excluons ce cas pour le moment; la somme des zéros dans le parallélogramme des périodes doit être congrue à la somme des pôles, c'est-à-dire à o ; puisque a et b sont des zéros distincts, il faut que le troisième zéro soit — a — 6; on en conclut l'égalité
importante
r p{a-hb) — p'(a-H^)
(CIIIs) i pa p'a
i pb p'ù
OU, si l'on veut, le théorème équivalent : la congruence
entraîne l'égalité
I pa p'a I pb p'b I pc p'c
(modd. 2(01, 2(1)3)
Cette égalité subsiste évidemment si l'on a 6^ c; elle n'a plus de sens si l'on suppose 6 ^ — c, puisqu'il faudrait alors qu'on eût a ^ o, en vertu de la congruence supposée.
452. Observons encore que, d'après le n** 391, on peut écrire, en conservant k f{u) la signification du précédent numéro,
^( it — a) ^(u — b)i^(u-\-a-^b)
pourvu qu'on n'ait pas a^± b; on déterminera la constante C en égalant les coefficients de — dans les deux membres développés suivant les puissances ascendantes de //, savoir :
— a(p6 — pa) = — a
CCa -+- 6)a'(a — b)
pour le premier, et
C^a^b ^(a -hô)
pour le second; on en conclut la valeur de C et la relation
I pu pu I pa p'a I pb p'b
•i(^(a — b)^(u — a)if(u-'b)^(u
a^aS^bS^u
Il esl bien aisé de vérifier que celle identilé subsiste dans le cas, que noire démonslralion exclul, où a sérail congru à 6, modulis 2(i)i, 9.(1)3. Si, dans cette identilé, on suppose a = o),, b = (O3, en se rappelant que Ton a (VII<)
pa)3 — pwi= -ji — 3- »
il vient
^ 3'tOi O'tOj a'U)3 S*'!/
Cesl de celte égalité qu'on a déduil, au n** 98, Téquation différentielle à laquelle satisfait la fonction pu.
io3. Si l'on a
a -I- ^ -i- c ^= o (modd. 2 0)1, 20)3),
le déterminant
Il pa p' a \
il pc p'c \
est nul; si donc on exclut le cas où l'on aurait pa = pb = pc, il existe deux nombres (*) )^, [a, tels que l'on ait
Ip'a — Xp«~ ti, p'b ^-Ipb — ii, p'c = y.pc -H jjL.
D'ailleurs les couples de quantités p'a, pa] p'b^ pb] pCy pc, mis respectivement à la place de X', X dans l'égalité
vérifient celte égalité. Les quantités pa, pb, pc vérifient ainsi l'équation
si donc, comme nous le supposerons dans la suite, deux de ces quantités ne sont pas égales, on aura identiquement
4X3-X«X»-(^,+ 2Xii)X-(^3-HHi«)--=4(X-pa)(X-p6)(X-pc), (') Foi/* Halphen, Théorie des Fonctions elliptiques, t. I, p. 3o.
c'est-à-dire
Ip a -h p 6 -h p c = -J X*, pbpc-hpcpa-hpapb = — J (^î-+- aXjx), papbpc=:l(gi-h jx*).
En remplaçant clans ces égalités A et [Ji par leurs valeurs tirées des équations (a) qui donnent
(CIII.) X = PlllPJL = P'^^-P'^ = p-a-p^b ^
pb—pc pc—pa pa — pb
__ pbp'c — pcp'b pcp'a — pap'c __ pap'b — pbp'a ^ pb — pc ~" pc — pa '~' pa — pb
on obtient une série d^identités qui toutes seront des conséquences
de la congruence
a -I- 6 -+- c z^ o (modd. 20)1, 2W3),
et parmi lesquelles figurent en première ligne celles-ci
*- *- ^ ^\pb — pc/ .\\pc—pa/ ^\pa — pb)
qui équivalent évidemment à l'égalité (CIII5), dans laquelle on a pris les signes supérieurs.
On a supposé que deux des quantités pa^ pb^ pc n'étaient pas égales. En tenant com|)te de la continuité, on voit de suite que si Ton suppose deux de ces quantités, mais non trois, égales, celles de ces égalités où ne figure pas un dénominateur nul devront subsister.
Si Ton élimine X et [Ji entre les trois équations (P), on parvient à l'égalité
(GIII.o) [{pbpc^pcpa^papb^^^
\ ={ipapbpc— ^3)(pa-+-p
b-^pc),
qui est encore une conséquence de la congruence
a -H 6 -H c E= o (modd. 2b)i, 2u>3),
et même des diverses congruences
T. et M. - III. 7
gS CALCUL INTÉGRAL.
puisque les deux membres ne changei>t pas quand on y change b ou c en — b ou — c.
454. Nous nous contenterons de citer les relations suivantes, que le lecteur établira sans peine en se reportant au type le plus général d'une fonction doublement périodique donné au n® 391 et aux formules (CIIIio), (VII|), relations qui ont lieu quels que soient a, 6, c,
— Ipbpc-hpcpa-i-papb-^ ^j Qr(a-i-6-hc)q'(a-4-6 — c)3*(a — 64-c)3'(— a-4-6-f-c)
^ ^ (pb — pc)^ [pa ^ p{b -hc)][pa — p(6 — c)] - -{pc—pay[pb — p{c H-a)][p6 — p(c— a)] ^:(pa-p6)5[pc— p(a-+-6)][pc— p(a— 6)].
Signalons aussi l'égalité
p'a -p'b , p'c- p'd ^ p'(a-hb)'-'p'(c-hff)
(CIII
pa — pb
pc p-b
pd p'd
pa — pc pb — pd p{a-hc) — p(b-j-d)
qui a lieu quels que soient a, b, c, d. Elle se déduit immédiatement de l'identité que Ton obtient en remplaçant chaque fraction par la différence des fonctions ^ à laquelle elle est égale, d'après la première des formules (VII3).
455. Nous allons (') maintenant établir le théorème général dont les égalités (GIII4), (GlIIg) sont des cas particuliers. Si l'on pose
I pUo p'iio ... p^n-l)u^ i pui p'ui ..
yo(Wo> Wi, . . . , lin) —
l pUn p Un
pf«-l)a,
►<«-ïJw«
et si l'on regarde cette fonction comme une fonction de «o» elle
(•) Voir KiEPERT, Journal de CrellCj t. 76, p. 21.
n^admetlra dans le parallélogramme des périodes qu^un seul pôle, le point o, et ce pôle sera d'ordre /? + i ; ce sera donc une fonction doublement périodique, d'ordre /i -H i, si toutefois, comme nous le supposerons d'abord, le coefficient de p^^-^^Wo) que l'on peut représenter par ( — ^Yf\{u\i w,, . . ., Un)i n'est pas nul : ^i(W|, 1/2, . . ., Un) est un déterminant de môme nature que /q. Ce déterminant /©> regardé comme une fonction de a^, a un pôle unique dans le parallélogramme des périodes : ce pôle est congru
à zéro; le coefficient de —f[^y dans le développement suivant les»
puissances ascendantes de e^o? est
(— i)«/i!/i(m,, Wj. ..., M„);
«I, W2> • ••?''« sont n zéros incongrus de/o? le (/i+i)'^"*' zéro est donc — (wi + W2 + ...-f- iin)j en supposant que cette quantité ne soit pas nulle : par suite (n** 391), on peut écrire
Co ne dépendant pas de Uq\ on trouve la valeur de Uq en égalant les coefficients de — ;j^ dans les développemenls des deux membres, suivant les puissances ascendantes de Uq'^ on obtient ainsi :
en traitant le déterminant /< de la même façon que y„, en continuant toujours de la même façon et en observant que Ton a
I p(Urt i) I P(W/i)
on obtient une suite d'égalités qui, multipliées membre à membre, donnent
(CIIlu) /o = (-i)''i!2!...Ai! ,
où le produit est étendu à tous les systèmes de nombres (a, p) formés par chacune des combinaisons des nombres o, 1,2,. ., n
pris deux à deux, dans lesquelles le premier nombre est toujours supérieur au second. A la vérilc, cette démonstration suppose qu^aucune des sommes Wi-H Wa -f-.«.4- Un^ W2+ W3-1-...+ Un, ..., Un-\-\- Unt lin n'est congrue à zéro modulis 20)1, aw,; mais la considération de la continuité montre que la formule doit subsister, pourvu qu'aucun des nombres Uq^ Ut, U2, • • ., Un ne soit congru à zéro.
