II. — Multiplication pour la fonction p u

456. La formule précédente peut se transformer en supposant que quelques-unes des quantités «©, «i, . . ., //« tendent vers une même limite; nous supposerons par exemple qu'on y fasse

I/o — M, W| = M -t- /*, ..., Un=u-hnh

et que h tende vers zéro.

Observons d'abord que si l'on considère un déterminant dans lequel les éléments d'une colonne sont «o? ^o • • •> «/u on peut remplacer ces éléments par les différences

ao,

ai— ao,

Oj — '?.ai-\- aQj

an an-i~. ■ ««-» — ...+ (— i)«ao,

pourvu qu'on fasse la même chose sur les autres colonnes; si l'on effectue cette transformation sur le déterminant /o et si l'on remarque que l'expression

<f {u -r- nh) ^[u -+-{n — i)h]

fl{Tt Or / x.l y ,v

H ^^ cp[u -i- (/l -- 2)/lJ -4-. .. -î-(— I)'«çp( W),

développée suivant les puissances entières de A, fournit comme premier terme h"o^"^(u), on voit de suite que le premier terme du développement, suivant les puissances de A, de

fo{u, Il -¥• h, u -t- 2/1, . . . , Il -{- nh)y

IOI-'

sera le produit de h^ par le déterminaDt

pu p u

pin) u p(«+l) u

»(Jrt-l)

D'un autre côté, le second membre de l'égalité (ClIIia), si l'on ne tient pas compte du facteur numérique qui est en avant, se réduit à

cT'*-»-» u «s*»-^» ( M -4- A) o''«-»-i ( a -h 2 A) . . . 0''»+» {u -h nh) ' et si l'on remarque que la limite, pour h = o, de

3"«(A)a'«-i(2A)...3'(/iA) <^"(h) (^«-«(^A) <3'(n/0

est évidemment égale à i! 2! . . • n !, on voit que, en égalant dans les deux membres les coefficients de la plus basse puissance de h,

on obtient l'expression de--LL__^LJ. après avoir changé n en n — I , nous écrirons le résultat sous la forme suivante : Posant

(GIV,) ^n{u) =

<f(nii) o"»'(m)'

on a

p'tt .

. . pC/»-i)a

. . pi«' M

Ci.iv,) ^«("^-^,1.^,...^^ ,^ij.