Cette formule mérite de nous arrêter quelques instants
D'après sa définition, et les propriétés élémentaires de la fonction <^, le premier membre est une fonction doublement périodique, d'ordre n^ — i, admettant o comme pôle multiple de cet ordre; elle est donc, suivant que n est impair ou pair (n** 436), de l'une ou de l'autre des deux formes A, Bp'w, en posant
A = ao J^«v*+«v 4- a,7»v«+îv-i ^ . . . t- ajv«H-ïv
• '•UOa CALCUL INTÉGRAL.
•/•••^ est mis à la place de pu^ei ao^at^ .,.^ ^2v«+2v» ^o? ^i? •••i ^av'-a» ! '••' sont des coefficients numériques que Ton peut déterminer en développant les expressions précédentes suivant les puissances ascen- ;* dantes de u et en identifiant avec les développements analogues
pour -\-, — : et pour —^ — ^., « Un trouve ainsi aisément
Aq = fiy Ai=o; Bo = f Bi = o.
Dans tous les cas, ^l{u) est un polynôme en y dont le premier terme est n^y"*~* .
458. Proposons-nous de former autrement les polynômes Aet B. Les zéros de Wfi{u) sont simples et s'obtiennent en donnant à chacun des nombres p et gr, dans la formule
2/> 0)1 -f- 51^103 __ u — — ap^qy
n valeurs entières quelconques telles que la différence de deux d^cntrc elles ne soit pas divisible par n, et en excluant toutefois la combinaison pour laquelle les deux nombres p^ q seraient tous deux divisibles par n. Si Ton pose, comme au n" 372,
&\on,«(a)= e
le produit
no
OÙ /?, q prennent les systèmes de valeurs qu'on vient de dire, admet les mêmes zéros et les mêmes pôles : c'est une fonction doublement périodique, comme il résulte très aisément des formules (XII2), et, comme dans ce produit le coefficient de ^,^ est
( — i)"'"* = ( — i)""*, tandis que dans ^*«(w) il est égal à /i, il est clair qu'on a, dans tous les cas,
(i)«-iiir^(a) = ,tj^('>.^,^,
ADDITION ET MULTIPLICATION. Io3
en écrivanly comme nous le ferons dans la suite, Xp^q à la place de ^^p,4i{u)>
Si n est de la forme 2v -t- i, on pourra prendre pour /?, q les valeurs — v, — v 4- ' , • • . , — i j o, i , . . . , v — i , v, en excluant la combinaison ^ = o, q = o. On est amené à grouper dans le produit les facteurs tels que dans Tun les indices soient les mêmes que dans l'autre, changés de signe, de manière à pouvoir utiliser la formule (VIIi). Ce produit s'obtiendra, d'une part, en groupant les termes pour lesquels/? est nul, ce qui donne
d'autre part, en prenant deux lignes de facteurs pour lesquels /> ait des valeurs égales et de signes contraires, ce qui donne
et eu donnant ensuite les valeurs i, 2, . . . , v à />. En résumé, la fonction V2v+<(w) est représentée par la fonction entière en pu
de degré v-t-[v(av 4- i)] = que voici
(CIV,) W,v+i(") = (2v-4-i) J^ (pa — pao,^) J^ J^ (pw — P^m)-
Quand n est pair, on peut, en posant n = 2v, donner à/;, q les valeurs — v -h i , . . . , — i , o, -h i , . . . , v — i , v, en excluant toujours la combinaison (o,o). On groupera exactement de la même façon les facteurs pour lesquels aucun indice n'est égal à v, et ce
groupement fournira v — i -f- (v — 0 (^''' — 0 ^=^ ^^ ('■' — 0 ^^^" leurs du premier degré en pu. Il restera à effectuer le produit
Mais on a
et, par suite (XI3),
d'ailleurs, on a encore
et Ton voit finalement que, lorsque n est égal à 2v, on a
(CIV4) Wn{u)=p'u,B,
OÙ B est la fonction entière en pw de degré [2v(v — 0]^- 2v — a
Al»— 4 . .
ou que VOICI
B = 4vPJ [pw — p(ais-^rtp,o)] PJ [pw-p(wi-Hao,?)] fj fj (pw — P«/»,ç)p=i 7 = 1 ;>=1 7 = -(v-i)
On reconnaît aussi aisément que Ton a toujours, quen soit pair ou impair,
en supposant que/?, q parcourent séparément un système de /i valeurs entières, telles que la différence de deux quelconques d'entre elles ne soit pas divisible par n, en excluant la combinaison où les deux valeurs de/?, q seraient divisibles par n,
459. L'expression (CIV2) de ^*„(//) n'est pas commode pour obtenir explicitement les fonctions entières A et B de pw. Mais il est aisé de trouver une relation récurrente qui permette de calculer de proche en proche ces expressions.
Si, dans l'équation (VII2), on remplace respectivement a, 6,' c, u par OLU, ^u, yw, 8«, où a, p, y, 3 sont des nombres entiers, puis que l'on divise par une puissance de du dont l'exposant soit
(P-+- ï)'-^-(P - ï)*-+-(a-+- S)^-^ (31- 0)' = *2(a*4- ?»-H Y«-h 8»), il vient
^^p^Y^'p Y^Vô^a-6+ ^Va^V^'^^-^S'^'M-^ Va+p^Vp^V5'ï'Y-ô= o\
de cette formule, on peut en déduire plusieurs autres propres au calcul de nos polynômes. Si, pour un entier négatif ou nul quel-
ADDITION ET MULTIPLICATION. lo5
conque /?, on pose encore
(j( nu)
il vient, pour p = m, y = n, a = i , 3 = o,
puisque, comme on le vérifie aisément, on a
en prenant m = /i + i , on a donc
de même, en changeant m en n + i et n en n — i , on trouve
Ces diverses formules permettent de calculer les polynômes ^« quand Tindice est supérieur à 4» au moyen des polynômes d'indices inférieurs ; W^ est égal à — p' u, W^ et W^ se calculeront directement au moyen de la formule (CIV2), en tenant compte des expressions (XCVII) des cinq premières dérivées de pu en fonction des puissances de pu.
On trouvera, dans le Traité des Fonctions elliptiques d'Halphen, des procédés intéressants qui permettent d'abréger beaucoup ces calculs.
460. Il est maintenant bien aisé d'obtenir p{nu) au moyen de la fonction Wn{u). En effet, la relation
, V 3'[(n-t-i)w]a'[(n — i)a] p ( nu) — p u = !^^ — !^-^ —
donne immédiatement
et l'on a, par conséquent, p{nu) en fonction rationnelle de pu pour tout entier positif n.
III. — Théorèmes d'addition pour les fonctions (, sn, en, dn.
461. Nous avons donné aux n"* 405-406 les formules d'addition pour les fonctions Ç, sn, en, dn. Le procédé suivant, où tout ce qui est essentiel appartient (•) à Abel, permet d'obtenir, pour ces fonctions, le théorème d'addition sous une forme très générale, d'où le lecteur tirera sans aucune difficulté les formules que nous venons de rappeler.
Soit j^ = Ç(//) l'une quelconque des fonctions ioa(w)j iao('^)» ipa('')) et soit z =^^. 11 est clair que l'expression
où z' est mis à la place de *-,- et où F(x;), /{z) désignent des polynômes entiers en 5, des degrés respectifs n et n — 2, est une fonction doublement périodique à périodes 2Ci>i, 2CO3, qui n'admet qu'un pôle dans le parallélogramme des périodes, à savoir, le pôle de la fonction Ç que désigne^; ce sera soit o, soit Wa; ce pôle est d'ordre 2/1; c'est aussi l'ordre de la fonction doublement périodique. La somme des affixes des pôles (confondus) de ^{z) est, dans tous les cas, congrue à o, modutis 20)1, 2 CO3; il en est de même, par conséquent, de la somme des affixes des zéros. Si donc on détermine les 2/1 coefficients des polynômes F{z) et f{z) de façon que ^{z) s'annule pour les valeurs W|, Wa, ..., "2/1-1 ^^' tribuées à u, ou, si l'on veut, pour les valeurs ^1, ^2) • • •> ^211-1 attribuées à z, cetle même fonction s'annulera pour la valeur
Wjrt = — Wi — Mj — . . . — Uin-l
OU pour la valeur correspondante Z2u attribuée à z. Les valeurs des coefficients de F{z) et de /{z) s'obtiennent aisément sous forme de déterminants.
(') Voyez : Abel, Œuvres, 1* édit., t. I, p. 532. -- Briosciii, Comptes rendus de V Académie des ScienceSj t. LIX, p. 999. — Cayley, Journal de Crelle, t. 41, p. 57. — GiJNTnEB, Journal d^ Crelle, t. lOU, p. 2i3.
Ceci posé, la fonction
est un polynôme en z de degré 2n. En effet, z'^ est un polynôme en z du troisième degré, comme ii résulte du théorème établi au n® 433, et comme on le vérifie sans peine au moyen des formules qui donnent les dérivées des fonctions Ç : ce polynôme du troisième degré est évidemment divisible par z. Par suite, si Ton désigne par «0 et an le premier et le dernier coefficient de F(5), le premier et le dernier coefficient du polynôme ^(s) seront respectivement al et a^.
Mais les valeurs de z qui annulent ^''(3) sont Zt, Z2, .. ., ^2^ et l'on a
^'{z) = al{z — Zi)(z ^ Zi). . .{z — Zin),
d'où Ton tire une série d'identités en égalant les coefficients des diverses puissances de z; en particulier, si l'on suppose 5 =r o, on aura
et, par suite, en extrayant la racine carrée
«0riJ^8---ri«-l
y^i y^t •••» J^2/i-« étant mis à la place de ç(wi)) $("2)) •••» 5(w2/i-.i); on a ainsi exprimé le premier membre en fonction rationnelle des quantités 5(wi), $(^2), ..., 5(w2«i), S'(w«), ..., 5'(w2/i-«)> comme il résulte évidemment de la forme de a„, a^ et de ce que l'on a ^ = 2i(«)Ç'(?^) = 2^'^'.
462. Il est d'ailleurs aisé de mettre en évidence dans an le facteur y^y^' • -^^2/1-1 et de déterminer le signe qu'il convient de prendre devant le second membre. Tout d'abord, on voit que, en faisant abstraction des signes, \{u\-\- U2-\-'* *-\- U'2n-\) se présente sous
la forme du quotient r- de deux déterminants A, B de Tordre
2/1 — i; les lignes de rang r de ces déterminants s'obtiennent en
Io8 CALCUL INTÉGRAL.
remplaçant u par Ur dans et dans
^«n-2, ^««-s ..., I, y^'^-^y, y-*y, ..., yy.
Quant au signe, il se dé termine aisément [en supposantj/'= Soa(w)], si l'on imagine que les quantités 2/4,2/3, . . . , 1/3/1-1 soient infiniment petites du premier ordre; le terme principal de
Çoa ( "I -^ Wî -+- . . . H- Uin-l)
est alors «1 -h Mj-i-. . .+ M2/i-« î 'es éléments, réduits à leurs parties principales des lignes de rang r dans A et dans B, se réduisent à
Les suites
•2/1— -I, 2/1 — 3, ..., I, in — 4> 2/1 — 6, ..., o, 2/1 — 2, 2/1 — 4> •••> o> ^'i — 3, 2/1 — 5, ..., I
présentent respectivement
i-f-2H-3-+-...-t-/i — 2 et i-+-2-f-3-^...-i-/i — 1
inversions, si l'on convient de dire que deux termes présentent une inversion lorsque le premier de ces termes, en commençant par la gauche, est plus petit que le second ; on en conclura facilement que le premier déterminant est égal au second multiplié par ( — i)""* (w, + U2-\-' ..H- W2«-i); on a donc en général
îoa( Ml H- a, -t- ... H- utn-i) = (— i)'*-* g •
463. On reconnaît de suite que le rapport -jc> quand on remplace yr ^^y'r P^^ ^\yn "^yrt ^^ reproduit multiplié par X; d'après cela, en se reportant aux formules (LX), on voit que, si l'on ajoute tOflt à chacune des quantités W|, Wo, ..., U2n-\^ l'égalité prend la forme
$ao(wi-+- "2-^. . .-f- Mtrt-i) = (— i)«-i g ,
en supposant que, dans A et dans B, yr, y^ représentent SaoC^r), ixo(^r) • si l'on ajoute au contraire (o^à chacun des arguments ^/|, «2, •-•? W2/i-i> on trouve de même
5yp(Mi-+-a,-f-...-hMtn-|)= -g;
cette fois, dans les déterminants A et B, yr et y^ représentent Enfin, on a de même
sn(Mi-+-M,-t-...-+- Mj„-|) =(— i)«-t g,
dn(a,-h W2-f-...-4- Mîrt-i) = g ,
où, dans A et 6,^^61: j/-^ représentent respectivement snw^, sn'wr, cnur^ en! Ur, dnur, dn' Uf
Comme on peut supposer que Uin-î est nul, les formules précédentes sont générales.
