CHAPITRE V

I. — Développement de log2r(p), de ses dérivées et des fonctions

doublement périodiques ordinaires.

464. On a vu rimporlance des développements des fondions 3(i^) en séries Irigonométriques, séries qui procèdent suivant les sinus ou les cosinus des multiples de çiz et qui mettent en évidence les propriétés essentielles de ces fonctions. Les développements en séries trigonométriques que nous donnerons dans ce Chapitre ont également une grande importance, surtout dans les applications de la théorie des fonctions elliptiques ; mais ils présentent, pour la plupart, un caractère très différent de celui des séries relatives aux fonctions â(t^) : ces développements, en effet, ne sont plus convergents pour toutes les valeurs imaginaires de l'argument.

Nous nous occuperons d'abord de quelques-unes de ces séries qui se déduisent immédiatement des formules relatives aux fonctions S(^) : elles concernent les logarithmes de ces fonctions et leurs dérivées logarithmiques.

465. Commençons par rappeler la définition de la fonction élémentaire logsimrt^.

Les diverses déterminations de cette fonction sont régulières pour tous les points v qui n'annulent pas sinirr, c'est-à-dire pour les points dont l'affixe n'est pas un nombre entier. Les points pour lesquels la fonction n'est pas régulière étant tous rangés sur l'axe des quantités réelles, il est clair qu'on peut définir la fonction logsinTTi^ comme fonction holomorphe de i^, soit dans la partie supérieure du plan, soit dans la partie inférieure.

Envisageons en particulier la détermination principale de la fonction logsinTut^, c'est-à-dire celle pour laquelle le coefiîcienl de £ est compris entre — tz cl -\~ tz] elle sera définie dans toute région du plan de la variable p ne contenant aucun point ç pour lequel sinTic^ soit négatif ou nul ; or si l'on pose ç z= a-\-bi, où « et b sont des nombres réels, on aura

sinTTP = sinira chrô -h icosiza sïnzb;

pour que sinict^ soit réel il faut donc que a soit un multiple impair de 5 ou que b soit nul; pour que sinizt^ soit négatif ou nul il faut, dans le premier cas, que a soit un nombre pair diminué de ^, dans le second cas, il faut que le plus petit entier inférieur à a soit impair. Donc, la détermination principale de logsinirç' sera définie dans toute région du plan de la variable v limitée par les parallèles menées à Taxe des quantités purement imaginaires par les points dont les affixes sont de la forme 2n — ^, où n est un entier quelconque, et par les segments de Taxe des quantités réelles joignant chacun des points dont Taffixe est un nombre entier impair quelconque, au point dont Taffixe est le nombre pair qui est plus grand que lui d'une unité. Les parall(>les à l'axe des quantités purement imaginaires sont perpendiculaires à ces segments, en leurs milieux.

Ceci posé, nous définirons de la manière suivante une fonction de V que nous désignerons par Is(t^), qui sera holomorphe tant dans la partie supérieure du plan que dans sa partie inférieure, mais pour laquelle Taxe des quantités réelles jouera le rôle de coupure, sauf toutefois entre les points o et i , de sorte qu'en deux points de même affixe, appartenant l'un au bord supérieur, l'autre au bord inférieur de la coupure, les valeurs de Is(i') seront différentes.

Dans celle des régions précédemment définies où se trouve le point ^, \s{v) sera, par définition, identique à la fonction holomorphe de ç», représentée par la détermination principale du logarithme de s'iwîzç] les valeurs de ls((^), lorsque l'on est sur les limites (a) de cette région non situées sur l'axe des quantités réelles, seront fixées par continuité, en approchant de ces limites depuis l'intérieur de la région; dans la partie d'une région contiguc située soit au-dessus, soit au-dessous de l'axe des quantités

réelles, nous prendrons ensuite pour la fonction Is(i') celle des déterminalions de la fonction log sinc^, holomorphe dans la partie de région envisagée, dont la valeur tend, quand on s'approche des limites (X), vers les valeurs de Is (v) déjà définies sur Çk)] la fonction ls{v) est ainsi définie dans une région contiguëà la première et sur les limites de cette région : on procède ainsi de proche en proche.

On peut encore définir la fonction Is (i^) par la formule

, , . /'"'îrcosTUP ,

Is(t^) = / — : du,

en supposantque le chemin d'intégrationne traverse pas la coupure. Le Tableau suivant, où n désigne un nombre entier, où r est supposé mis sous la forme a -h b i^ a et b étant réels, et où les logarithmes sont toujours supposés avoir leur détermination principale, donne la définition précise de la fonction ls(p) à laquelle on parvient ainsi.