Considérons (*) Texpression

où les fondions p sont celles qui sont définies par les formules (XXXII), de sorte que Ton a

2 (- q)m^x^nt ^ ( ^)m«^2i

ÇlÇ^i^y — o^^y-^ ) JJ (i — q^'^x^y^ ) J^ (i — q^nx-ty-i)

In) (n)

V doit prendre toutes les valeurs impaires et positives, m toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives, n toutes les valeurs entières et positives.

Cette fonction F(y, ^, j) est définie pour toutes les valeurs de ^, y qui ne sont pas nulles et qui n'annulent pas p^ (x), p4 (y). Les valeurs de ^, j' qui annulent p4(^), P4(^) sont comprises

dans la formule rhy""^»; si l'on pose \q\=:h, on voit qu'elles sont représentées par des points diamétralement opposés, situés sur des cercles ayant l'origine pour centre et ayant des rayons égaux

à A""^» ; sur chacun de ces cercles il existe un couple de ces points et un seul. Si l'on considère la fonction F{q^ œ^y) comme une

fonction de x seul, par exemple, tous les points x =: ± q^'^'^ seront des pôles simples de cette fonction, comme il résulte évidemment de la seconde forme sous laquelle elle a été mise.

Dans l'espace annulaire compris entre deux cercles consécutifs il n'y a pas de point qui soit un zéro pour o^[x) ou Çk{y) : tel

( ') Voir Kroi^ecKer, Monatsberichte der Berliner Akademie, i88i.

est, par exemple, l'anneau compris entre les deux cercles de

rayons y/A ei-p=- Nous aurons bientôt à nous restreindre au cas

où l'une au moins des deux variables x, y est représentée par un point situé à l'intérieur de cet anneau, c'est-à-dire que nous supposerons que X OMi y vérifient les inégalités

il est clair que ; — r ou i — ■ vérifient alors les mêmes inégalités.

Pour toutes les valeurs de or, y qui vérifient à la fois ces inégalités, la fonction F(5r, x^y^ est finie et déterminée. La fonction p,

s'annule aux points d: y/^, dt -r= situés les deux premiers sur la

limite intérieure de l'anneau, les deux derniers sur la limite extérieure. Autour des points ih \J q comme centres, avec un rayon très petit, décrivons des cercles et supprimons de l'anneau la partie intérieure à ces cercles; aux points des petites régions supprimées correspondent, par la transformation ^'= -> des points

dont l'ensemble constitue deux petites régions, intérieures à l'anneau et voisines des points db -— :; supprimons-les encore et dési-

V y gnons par (A) Tanneau ainsi modifié. On observera que si x est

un point situé dans (A), il en sera de même des points — ar, ±: X"*, et que si x^ y sont assujettis à rester dans (A) ou sur son contour la fonction F(5r, x^y^^ regardée soit comme fonction de x^ soit comme fonction dey, sera holomorphe ; en particulier, il existera un nombre positif N tel que l'on ait

Laissons de côté, pour un moment, les restrictions imposées à x eX.y\ les propriétés suivantes, de la fonction F (y, x^y)^

(a) F(7, ar, y) z=%^ q^nn' x^n' y\nY{^q^txq^ ^^ yq'^'),

(P) F(y, ar-i,^>)=-F(^,:r,^),

OÙ e, e' représentent dz i et où n, /l' désignent des nombres entiers quelconques, résultent aisément des formules (XXXIV7). La pre-

mière de ces deux relalions montre, en particulier, comment l'on peut ramener le calcul de la fonction ¥[q^x^ y) lorsque x ely sont représentés par des points extérieurs à Taire (A), au cas où ils appartiennent à cette aire, pourvu que les points a:, y soient à une distance suffisamment grande des zéros des fonctions p^{;x:)J