Considérons maintenant Tintégrale

dans laquelle x sera regardée comme une constante assujettie seulement à être représentée par un point qui appartienne à l'aire (A); quanta j^ ce sera une constante telle que p\{y) ne soit pas nul. Nous allons montrer que, si Ton prend cette intégrale sur la circonférence d'un cercle ne passant par aucun pôle, ayant son centre au point o, de rayon infiniment petit ou de rayon infiniment grand, elle est infiniment petite. Admettons, pour un instant, qu'il en soit ainsi.

Entre deux cercles ayant pour centre commun le point o la fonc-

• Y^ ( o ce "^ tion — ±j—Lll, où z est la variable, est univoque ; elle n'admet pas

d'autres singularités que des pôles, en nombre fini, quand on a fixé les deux cercles, à savoir le point z =yy que l'on peut toujours supposer situé entre les deux cercles, et ceux des points z=i± y""*"», où n est un nombre entier, qui sont aussi situés entre les deux cercles. Tous ces points sont des pôles simples de la

fonction — — — ^ — considérée comme une fonction de z. Par suite,

lorsque le rayon d'un des deux cercles croîtra indéfiniment, que l'autre décroîtra indéfiniment, la somme des résidus de la fonc-

lion • J^^ ' — > résidus dont l'un est F(y, x^y)^ tendra vers zéro.

On prévoit ainsi qu'on obtiendra F(y, o:,^) sous forme d'une série. On voit même, puisque l'intégrale est infiniment petite sur le cercle infiniment petit, ou sur le cercle infiniment grand, que la somme des résidus relatifs aux pôles compris entre deux cercles ayant pour centre le point o tend vers une limite quand le rayon du cercle intérieur décroît indéfiniment ou que le rayon du cercle extérieur grandit indéfiniment.

475. Désignons par R un nombre positif fixe, assujetti seulement à cette seule condition : le cercle décrit du point o comme centre avec R comme rayon a sa circonférence contenue tout entière à l'inlérieur de Taire (A). Considérons le cercle (C) décrit de l'origine comme centre avec le rayon Kh", n étant un nombre entier positif que nous ferons tout à Theure grandir indéfiniment et que nous supposons de suite assez grand pour que le point y soit à l'extérieur du cercle (C). Quand n grandira indéfiniment le cercle (G) deviendra infiniment petit; nous allons montrer que l'intégrale

prise le long de ce cercle, tend vers zéro quand n croît indéfiniment; si l'on pose en efiet

cette intégrale devient

J^ Rh^e^'^^ — y

où le signe dépend du sens dans lequel on parcourt le chemin d'intégration; d'ailleurs on a, en vertu de l'égalité (a) du n** 473, où l'on remplace e et e' par -f- i , /i par o, n' par — n et y par

et, puisque la valeur absolue de g est A, la valeur absolue de RAny-/igiir« est R; en d'autres termes, le point RA«y' e*'^" appartient à l'aire (A); on a donc

\F(q,Xy R/i«^-«c'i^")| < N,

et par conséquent la valeur absolue de l'intégrale considérée est moindre que

comme — -7^ est plus petit que i, il est évident que cette quantité tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.

476. Soit mainlenant G' un cercle de centre o et de rayon égal à p-r^* Considérons la différence des deux intégrales

dont la seconde est nulle puisque la fonction F(q^ x^ z) est impaire et que le contour (CI) est symétrique par rapport au point o.

Si l'on change ^ en -Me contour (C) devra être remplacé par le

contour (C) et, en tenant compte de l'égalité

qui résulte de l'égalité (p) du n^ 473, on voit que le second membre prendra la forme

or cette dernière intégrale appartient au type précédemment étudiéj sauf le changement de x^ y en j?-*, y~*, changement qui n'altère pas les conséquences; cette intégrale tend donc bien vers zéro quand n croît indéflnîment. Il en est de même de l'intégrale proposée quand le cercle C grandit indéfiniment, ainsi qu'on l'avait annoncé.