Il nous reste à évaluer les résidus de la fonction de z

F(q,XyZ)

Le résidu relatif au pôle ^ est F(5r, ^r, j^). Le résidu relatif au

pôle zq^^^ s'obtiendra en remplaçant z par e^r'^'^ïdans l'expression

__ I p'i(Opi(^-).

Mz—y) p*(ar)p;(z)'

le calcul se fait sans peine au moyen des formules (XXXIVe-T), (XXXV4,o)î et l'on trouve, pour le résidu cherché, la valeur

On voit de suite que les deux séries, dont le terme général se déduit de là en remplaçant e par -f- 1 ou par — i, sont absolument convergentes quand on donne à n les valeurs o, i, a, 3, ...,cx>; il n'en est pas de même pour les valeurs négatives de ri] pour avoir une série absolument convergente, il faut réunir dans le terme général les deux résidus relatifs aux valeurs -f- i et — i de s et l'écrire

2 „^l 2 n^\ yt^qln^X ,__ ^î ^-2/1-1 '

SOUS la dernière forme, la convergence absolue de la série dont on

vient d'écrire le terme général, quand on donne à n les valeurs

— I, — 2, — 3, . . . , — 00, est manifeste.

A* . 1 r 2ir'NR A« ^ lit

Aioutons que la forme ■ — . — rrr-- , — rr-.* trouvée plus haut pour

une limite supérieure de la valeur absolue de l'intégrale envisagée, met en évidence (n** 30) ce fait que la série

est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de x

telles que l'on ait | x\'^ol^, en désignant par a un nombre fixe plus grand que i ; l'intégrale, en efi'et, n'est autre chose que le reste de la série. Une conséquence toute pareille concerne la série analogue relative aux valeurs négatives de n, pourvu que l'on ait

478. En écrivant que la limite de la somme des résidus de la fonction -^^ — - — -> relatifs à ses différents pôles, est nulle, on trouve, en remplaçant F {g, ^,y) p^^ sa valeur (n° 473),

OÙ chacune des séries est absolument et uniformément conver-

gente sous les conditions qui viennent d'être expliquées. Rien n'empêche donc de dîfférentier terme à terme, si on le désire.