i(i^) sinirp Jmd i — iq^^ cosTzv -^ q

= —. 4 y ûT*"'" sin(2/i — m)TiVy

et un troisième développement à convergence très rapide que nous laissons au lecteur le soin d'écrire; on peut d'ailleurs lui substituer un autre plus simple et également très convergent qui a été donné par Jacobi.

Observons d'abord que, dans la dernière formule, on peut se contenter de faire parcourir à l'indice m tous les nombres impairs positifs, puisque le tableau à double entrée des valeurs que prend sin2(/i — m')'Kv^ quand on y remplace /i, m' par tous les entiers positifs, est formé de termes nuls ou égaux et de signes contraires : on a donc

I PrO) I

OÙ n est un entier positif quelconque et [jl un nombre positif impair, de sorte que les exposants de x sont tous des nombres im- , pairs. Groupons tous les termes de la série à double entrée pour lesquels l'exposant de a: est égal au même nombre impair positif v et ceux pour lesquels l'exposant de x est égal au nombre impair

DÉVELOPPEMENTS E>* SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. l35

négatif — v; on aura immëdlatemcnl

= jzr^ -^ 2 ^~ '^^' '''■' (2 ^'''^' ~ 2 ^"^')

r=l IVJ (v)

~ x — x-^ Âd^ \\—x^q^^ i — x-^q^'-J

La série qui figure dans la dernière égalilé, mullipliée par ^ — a:"*, se met sous la forme

en transformant le terme général au moyen de l'identité et en remarquant que la somme de la série

r = ao

V {l — y-iqrir-l)(^i^gir>^

est égale à un, on voit qu'on peut écrire encore

rzr 90

Il résulte de là que la fonction s——: peut être mise sous la forme

- o, , . = -. r- 4 >, ŒvSinVTTP (v = I, 3, D, ...,»),

l36 CALCUL LVTÉGRAL.

en posant

OU encore sous les formes très rapidement convergentes, quel que soit r,

I 3r\(o) l ,. 'v^ (— l)'-»ûr'-^''-^-l>(l-hûrîr)

— i 1 z=z " A sin Tc i* ^ - - - - - ■