sinTTi' Jmd 1 — a^"'cos2irrH

En changeant x en ^v^y dans l'une des expressions précédem-

ment obtenues pour - ^ — * on trouve de suite

' 2 pi{x)

OU, en réunissant les fractions qui ont pour dénominateurs

formule qui équivaut à la suivante :

Sr— 1 i /7»r— 1

En changeant r en rH-j, on a immédiatement les formules analogues pour les inverses des fonctions 2^2 (t^') et ^^^(i^). On les trouvera dans le Tableau (CIX).

487. Si, dans les formules qui concernent ^ , -^ ^ ou —ïc-r-r^ et "^ .' ou — ^1 — ; — , on chan<;c iv en — tr, qu on prenne les

dérivées par rapport à p, puis que l'on fasse r = (v, il vient, d'une part,

in, m)

et, d'autre part,

C0S2(/l — 1) TTP — y"*-* COS2/l7:t^

I — î^*»-* cos2 7:i' -i- y*"-»

piv ^.^^ fXV

Q^j-^- — 4^' ^ ^^ * COS(v — 11)tZV = 27:* X,'(fX -4- V) ^ * COS(v — |Jl)7CV <|A.V) (|1,V)

En changeant dans ces formules x en ix, i^ en r + 1, on a immédiatement les formules analogues pour les inverses des fonctions p*2(j?), 2^2 (^) ®^ p3(^)> ^3(^0* ^" '^^ trouvera aussi dans le Tableau (CIX).

488. Ces divers développements, au moyen des formules de passage, en engendrent d'autres relatifs à la fonction réduite Jli)(w) du no 371,

Qu'aux expressions analogues, où les fonctions d sont remplacées par des cofonclions. Comme pour toute fonction de seconde espèce, dont Tun des multiplicateurs esti, la fonction A.(?/) peut servir d'élément simple, on a donc aussi des développements en série trigonomélrique pour toute fonction réduite de seconde espèce.

l38 CALCUL INTÉGRAL.

Nous n'écrirons que les deux suivants, concernant X{u)^

sm — (nu-^ Uo) — g^" sm

n=z co

t\o(u) = col h col )h > g

20)1 \ 2Wi 2ti)i/ U)i ^^ ^

„ TZ Uq .„

n = i I — 2cr*'*cos ha*"

ti)|

, , - 71 / 7: a T.Uo\ iTz 'V' • • 'î^ / \

X(u)= (col- — -f- col — -] -\ > cr»«'" sin — (/la-f-mMo);

(Dl C

ils sont valables, le premier pourvu que la partie réelle de soit comprise entre la partie réelle de — ? et celle de ?> le

second pourvu que les parties réelles de — . et de — ^. soient cha-

cune comprise entre ces deux mêmes limites.