III. — Développements des quantités ea, T^a

en séries en^.

489. Les développements des fonctions doublement périodiques, de première et de seconde espèce, en séries trigonométriques, engendrent un grand nombre de développements en série pour les constantes que Ton a introduites successivement dans la théorie des fonctions elliptiques; dans ces séries, c'est q =: e""^^ qui est l'élément; c'est pourquoi nous les appellerons séries en q. Nous n'en citerons que quelques-unes.

Les développements (CVI3) àepu et de p{u -\- (o^) fournissent des séries en q pour e,, e^, e^ et r^^. En égalant les termes indépendants de u on a, en effet,

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Les trois derniùres de ces équations sont idcnli(|i]es aux relations (XVII2), comme il est aisé de s'en assurer. La première donne t,i ; en la retranchant des trois dernières on a

( ex, ) ,, = ^ î:!^ y (- 0^ — '^- —

7:* 21:* '^ rq''

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Si, dans les développements (CVI3), on compare les coefficients des mêmes puissances de w, on obtient une suite de séries en q pour g 2^ gz et divers polvnomes formés au moyen de ^,, <?2î ^3j gi^ gz-