Les développements (CVIIIa) de ^ — > que Ton a donnés

au n° 485, engendrent des séries en q pour AK^. Si, dans ces développements, on fait (' = o après avoir pris les dérivées par rapport à v^ et si Ton tient compte des formules (XXXVI5), (XXXVIIi), (LXXlj), on obtient, en effet, les relations

ïn-l

Les mêmes développements ij .' engendrent aussi des séries

en q pourAK, \^kY\.^ et pour la quantité K elle-même. Si Ton y fait i' = j par exemple, on a

2/1 — 1 în — I

± K = 1 2ri(o) ^ y (-.)-. -2-^ = y -

fjin-l n=l n=l

l4o CALCUL INTÉGRAL.

Si l'on fait r = - — - dans la dernière des séries citées, qui reste

convergente pour cette valeur de v^ on trouve, après une transformation facile,

rîl-l

T: 'A ^^ ^ 2 ^ I -h </*'» 2 .^rf ^ I —

Si l'on fait enfin (^= -, et si l'on observe que les formules (XXXIVe) fournissent, pour ç'= — 7 > la relation

on trouve

In— 1

^^1. 'c,,,c,, V rr vf'^-^^ '^^^1

491. Des développements (CVIII) des autres quotients mutuels de Si(i^), ^2(^)9 ^3(^)» ^4(^0 01^ déduit de même, en y faisant r=ro, -,-> , -* 7> de nouvelles séries en g pour K, A'K,

y/^K, ainsi que des séries en q pour A'K, y/^'R.

Ceux des développements obtenus qui concernent K nous fournissent aussi des expressions en q pour Z'(o) et, par suite, pour E. En effet, le développement (CV5) de Z(x) fournit, pour Z'(o), l'expression en q^

d'où, en tenant compte de la formule (C1I|), l'expression en q

^-"-tSt^

492. Les développements ((^X) des inverses des fonctions ^2(0), 33(0), 34(0) fournissent des séries en q pour \/k'K, \/k\/k'K, y/A* K. En faisant ç = o dans le développement de ^ ~ par exemple, et en réduisant au moyen des mêmes rela-

DÉYBLOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMfiTRIQUES. I^I

lions (XXXVl) et (XXXVIl) que plus haut, on a

ftr-l

Ce n'est pas le même développement qu'au n** 490.

Les développements (GIX) des inverses des carrés des fonctions 32{v)t 2^s(^)> ^*{^) fournissent aussi, en donnant à ç des valeurs particulières, des séries en q pour les quantités ^K^, /r' R*, kk'K^j et plusieurs de ces séries se présentent sous une forme différente de celles que nous avons obtenues au n° 490 pour les mêmes expressions.

On trouvera tous ces développements au Tableau (CX) à la fin de rOuvrage. Le lecteur les rapprochera naturellement, non seulement les uns des autres, mais aussi des développements en q déjà obtenus dans le Tome II de cet Ouvrage et, en particulier, de ceux qui sont contenus dans les formules XXXVI et XXXVIl; on obtient ainsi de nombreuses identités.

lf^2 CALCUL INTÉGRAL.