CHAPITRE VI

I. — Intégrales rectilignes le long d'un segment joignant deux points congrus, modulis ^lui, 2.0)3,

4-93. Avant d'aborder le problème général de rintégration d'une fonction doublement périodique à périodes 2(i><, 2(03, le long d'un chemin arbitrairement fixé, il convient d'étudier le cas particulier où l'intégrale est rectîligne, où le chemin d'intégration ne passe par aucun pôle de la fonction et où les deux limites d'intégration sont représentées par des points dont les affixes sont congrus suivant le système de modules 2(o,, 20)3. Nous indiquerons qu'une intégrale est rectiligne en mettant un accent à gauche du signe d'intégration (*).

Soient t et ^' la partie réelle et le coefficient de i dans l'expression de T, -: =^ t -\- t'i. On sait (n° 466) que log&i(i') est une fonction holomorphe de c dans la région du plan de la variable i', limitée par les parallèles à l'axe des quantités réelles menées à la distance de cet axe égale à /', région dans laquelle l'axe des quantités réelles joue le rôle de coupure, sauf entre les points o et 1 . 11 en résulte que si Cq représente l'affixe d'un point intérieur à cette région et non situé sur l'axe des quantités réelles, on peut évaluer, sans aucune ambiguïté, la valeur de l'intégrale

de.

(') C'est la notation adoptée par M. Schwarz : Formules., etc., p. 3i.

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. Il\3

On a vu, en effet, que logSr, (r) peut alors être regardé comme la somme de la fonction Is(i^) et d'une série trigonométrique qui, elle, définît une fonction holomorphc à Pintérieur de la région envisagée, reprenant la même valeur pour Vq et pour Cq -f- i ; on en conclut que la valeur de l'intégrale envisagée est égale à Is(t>o-f- i) — ls(i^o)j c'est-à-dire, ainsi qu'il résulte de la définition de la fonction Is, à — Tzi quand le coefficient de i dans Tq est positif, k + Tzi quand ce coefficient est négatif.

494. 11 est aisé d'en déduire la valeur de la même intégrale rectiligne pour une valeur quelconque de ç'o = o^ + P'f? sous la condition que p ne soit pas entier. Observons tout d'abord que le résultat doit être indépendant de a, car si l'on désigne par a un nombre réel, on aura

or les deux intégrales

sont égales, comme on le voit en changeant la variable xi'intégration V en V -{- 1 ; on a donc

Il nous suffira, pour ce qui suit, de supposer que a ne soit pas un nombre entier, et le résultat sera donc indépendant de cette supposition.

493. Soient m et n les nombres entiers déterminés par les conditions

posons en outre

et considérons l'intégrale

l44 CALCUL INTÉGRAL.

étendue au parallélogramme dont les côtés sont ir^, cf'o+i, Po-hi, Çq, Deux côtés de ce parallélogramme sont parallèles à l'axe des quantités réelles, les deux autres sont parallèles à la direction qui va du point o au point t; en le parcourant dans le sens qu^indique Tordre de succession des sommets, on voit qu'on le décrit dans le sens direct ou dans le sens inverse, suivant que n est positif ou négatif; les zéros de la fonction 3^1 ((^) contenus à rintérieur de ce parallélogramme sont d^ailleurs les points

m -h I -H T, m-f- I -h 'i-:, ..., m-4-i-i-/ix

dans le premier cas, les points

m-hi, m -f- I — T, m -H I — at, ..., /n-t-iH-(nH-i)T

dans le second; leur nombre est toujours égalà|n{; chacun d^eux

est un pôle de la fonction ^*^ > dont le résidu est i ; l'intégrale

considérée est donc égale à ±: 2 1 /i | tt/, suivant que l'on a marché dans le sens direct ou dans le sens inverse : elle est, dans tous les cas, égale à 2mzi. Elle peut d'ailleurs être regardée comme la somme algébrique des intégrales

mais la seconde et la quatrième de ces intégrales sont manifestement égales; on a donc

et, par conséquent, comme Wq est dans la région étudiée au n*»493 et que, le coefficient de / dans Wq étant positif, la première intégrale est donc égale à — tt/, on a

(CXVIÏ,)

/ cv / ' «t^ = — (2/iH-l)7:<.

4-96. Il est aisé d'en déduire la valeur de l'intégrale rectiligne

• fo-»-T Cr'

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l45

OÙ maintenant il est nécessaire de supposer que a n'est pas un nombre entier.

L'égalité

qui se déduit immédiatement de la formule (XLIII5) donne, en effet,

/ cT-, 'dv='-Tzi('àVo-{-z)-^- I )— ^ ^- dv,

et, en changeant la variable d'intégration v en vij ce qui n'altère pas le caractère rectiligne de l'intégration,

on a d'ailleurs

et, par conséquent, en appliquant le résultat précédemment obtenu,

(CXVII,) / ^-4- c?v = - 711(2^0 -f- -:) -+- {'ini-^ 1)1:1.