Si maintenant on se reporte à la formule (XXXIII

lu= -^-h

OÙ M = 2 r(0| , et si l'on remarque que, l'un des deux points m, v décrivant une droite, il en est de même de l'autre, on obtiendra immédiatement les conséquences suivantes :

Si l'on pose, en désignant par a, p des nombres réels,

Mo = 2at0iH- 2pW3,

T. et M. — III. 'lo

I^f6 CALCUL INTÉGRAL.

et si l'on désigne par m et n des nombres entiers déterminés par

les conditions

m<a<m-f-i, /t<p</i-hi, on aura

/ Ç // rfM — 2 T) 1 ( Mo -T- tOi ) — ( '2 /l -f- l) 7t «\

(GXVIIs)

/ Ça û?a — '2733(1*0 -^ W3) -T- (am-t- 1)7:/.

Pour la première intégrale, on suppose seulement que ^ n'est pas entier, pour la seconde que a n'est pas entier.

498. Soient r, s deux nombres entiers premiers entre eux. Adjoignons-leur deux autres entiers /, s' tels que l'on ait

rs' — r s — I,

et posons (XIX, XX)

û, =z r 0)1 - - s 103, Hi — r r^l-^ s 7,3, Û3= r'o), ~5'to3, U3 = r' T^i -h s' Tti,

Appliquons les résultats précédents à la fonction

Ç(m| Qi,Û3) -^ Cm; nous aurons, en supposant toujours l'intégrale rectiligne,

/ Ç « (f a — 2 Hi ( Mo -^ S2 1 ) — ( 2 N -^ I ) TC i ;

le nombre entier N est déterminé par les conditions

N<Pr — a5<N-f-i, puisque Ton a

Uq = 2aoJi-f- 2^0)3 = '2{oLs''~ 3/*') Qi H- ^(Pr — 25)03. On peut donc écrire, en supposant r, s premiers entre eux,

I H^udu = 2(rr^iH- 57)3) (wo-h /'Wi -h .va)3) — (2N -+- 1)7:1.

En observant que la valeur de N ne change pas quand on remplace a par a-j-r et p par ^4-^, et en remplaçant successivement

dans cette formule Uq par Wo-h2rtO|-|-2 5t03, Wo-H 4 ^^i 4-4*^^3? •••<> i/o4-î^(v — i)(r(o, 4-5(1)3) et ajoutant, on trouve

,u,-i-lv(r6i),-+-f ti>,)

f Çwt/u — 2v(rTit-^5Y)3)(ao-HrvtOt-f-5VW3) — v(2N-4-i)7rf,

et, par conséquent, dans les mêmes conditions

^-ï- — di^ nz vTTi I 2N -t- I -f- S [2(^0 + v(r-T- 5X)1 1

En résumé, on a le moyen d'obtenir toutes les intégrales recti lignes de la forme

' ^tto-f-2ra), + îf 0), ' /•^o-^f-^^'^ ^' ( ^,\

Mo •^i'ii

2ri(<^)

où r et 5 sont des entiers quelconques. Disons encore une fois que le segment de droite qui va de Uq k Uq -\- 2rW| -h 250)3 ne doit contenir aucun pôle de Ça.

En prenant dans l'avant-dernière égalité r = s= — i, on obtient

/ Çaé/a = 2T)2(wo-+- wj) — (2|Ji-4- 1)7:1,

où (JL est un entier déterminé par la condition

|x<a— 3<|ji-4-i, et qui est évidemment égal k m — n ou k m — n — i .

499. Les résultats qui précèdent permettent évidemment d'obtenir les intégrales rectilignes de la forme

OÙ o{u) est une fonction doublement périodique à périodes 2 toi, 20)3 et où r, s sont des entiers quelconques.

Si, en effet, on décompose la fonction cp(w) en éléments simples, on obtient une somme de termes de la forme

dn^u — n^

multipliés par des constantes. Les termes de la première sorte s'intègrent immédiatement; la partie qu'ils fournissent, dans l'évaluation de l'intégrale envisagée, ne dépend que des limites et nullement du chemin d'intégration, puisque la fonction ^(u — a) est univoque ainsi que ses dérivées; pour chaque pôle a, cette partie est nulle si n est plus grand que i et égale à 2rT,i 4- 25713 si n est égal à i . Les termes de la seconde sorte peuvent être évalués par ce qui précède : en posant Ui ^ Uq — a, on a

/ Ç(m — a)du = j l^udi

SOO. Si, par exemple, on prend pour ç(w) la fonction

OÙ a est une constante qu'on peut supposer mise sous la forme 2a'(i>| -i- 2p'(03, a', p' étant des nombres réels, on aura, en désignant par r, s des nombres premiers entre eux.

Ufi-^-l{r(a^•+^stû■^)

0(11) du = — ti(rr^iH- STiz)a

2(rt0|-i- 5a)3)Ça -h '2(n — N )t.i,

OÙ N et N'sont des entiers déterminés sans ambiguïté par les conditions

n'< (? - ?') r - (a - et') s < n'-t- I ;

le cas où l'un des nombres pr — cas, ([â — '^')r — (a — a')^ serait entier doit être exclu.