II. — Intégration le long d'un chemin quelconque

Cas général.

SOI. Lorsque l'on a à intégrer une fonction doublement périodique 'f (w) à périodes 2(0^, 2(03 le long d'un chemin déterminé (G), allant d'un point Uq à un point W| , il faut d'abord, pour que la question ait un sens, que le chemin d'intégration ne yjasse

par aucun pôle de «p(w). Cette condition étant vérifiée, la marche générale consiste à décomposer la fonction ç(w) en éléments simples; ç(m) est alors une somme de termes de la forme

multipliés par des constantes. Les termes de la première sorte s'intègrent immédiatement, et la partie qu'ils fournissent dans l'évaluation de l'intégrale envisagée ne dépend que des limites «o et Ml, et nullement du chemin d'intégration. Quant aux termes de la forme X^i^u — a), on les intègre en partant de ce que l'on a

ils introduisent par intégration des termes de la forme

loga'(wi — ^) — logo'(ao — cl),

La valeur de cette différence n'est déterminée, pour des valeurs données de Mq, M|, qu'à un multiple près de 2f7c, et ce multiple dépend essentiellement du chemin (G).

C'est la détermination de ce multiple d'après la nature du chemin (C) ou, si l'on veut, le choix des déterminations des logarithmes qui est l'objet de ce paragraphe.

502. La question ne se pose pas quand les invariants ^2, g^ de la fonction du sont réels, que le pôle a est réel et que le chemin d'intégration est l'axe des quantités réelles. On ne peut alors supposer que Taxe des quantités réelles contienne entre u^ et U\ un zéro de la fonction di^u — a), qui serait un pôle de la fonction o(w); ilen résulte que les deux quantités (^(a© — a), <^(wi — cl) sont de même signe, et la partie de l'intégrale qui provient du terme X^i^u — à) est alors

<CXVII,) r'g(a-a)^a = log^j";~^\

où la quantité dont on doit prendre le logarithme est positive et où le logarithme a sa détermination réelle.

La question ne se pose pas non plus lorsque les invariants étant

l5o CALCUL INTÉGRAL.

toujours réels, le chemin d'intégration est une portion de Taxe des quantités purement imaginaires, et que le pôle est un point situé sur cet axe. Les relations d'homogénéité (VIII) donnent, en effet, les formules

p(tw; gu gz) = — ? (w; ^ï» — ^s);

mais si l'on considère un pôle d'affîxe /a, et le chemin d'intégration rectiligne qui va du point iu^i au point iu^^ a, Uq^ u^ étant réels, on ne peut supposer que ce chemin contienne un zéro de la fonction <3'[/(w — ct)\ g%t 5^3] î '' d résulte que la fonction réelle ^(w — a; ^2î — gi) conserve le même signe quand u varie de Uq à u. Dans ces conditions on aura

(cxviu) : '"• , ,,

/ Çf «( w — «); gt, ^3] d(,iu)

= / ;(w-a; ^„ -^3)c?a = Iog- -— 1-,

en conservant au logarithme sa signification réelle.

S03. Mais le problème posé ne peut être évité en général. Il est clair toutefois qu'il suffit de le résoudre pour la fonction !J w, puisque, en désignant par (G) un chemin quelconque et par (C) ce que devient ce chemin (G) quand on lui fait subir une translation égale au segment de droite qui va du point o au point — «, on a

J' Ç(w — a) du =z I l^udu.

Il est clair aussi, en vertu de la formule (VI3), que si l'on sait effectuer l'intégration pour un chemin (G'), on saura l'effectuer pour tout chemin (G) qui se déduit de (G') par une translation égale au segment qui va du point o au point 2^(01 -f- 25(03, en désignant par r et s des entiers. En supposant, par exemple, que le chemin (G') soit dans une région où log<3'w ait été défini comme une fonction holomorphe, si l'on fait se correspondre les points u et «' par la formule

u = u' -r- 2ra>i -+- 9.50)3,

IMTÉGRALKS DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l5l

on aura, en désignant par m'^, u\ les points qui correspondent à I/o, Wi,

(CXVIÏft) / l^udu — logo'w', — logeai"^ {irr\i-^ ist^^){u\~ u'^),

Or, si l'on considère les parallèles à la direction qui va du point o au point w,, menées par les points d'affixe (a/î + i)tO|, où n désigne un entier positif ou négatif, ces parallèles sépareront le plan en bandes, dont chacune pourra, par des translations du genre de celles que l'on vient de définir, être amenée sur telle bande que Ton voudra, par exemple sur la bande (Bo) qui contient le point o, et dans laquelle log<3'tt est défini (n° 470) comme une fonction holomorphe, sauf toutefois sur la coupure que comporte cette bande. Or le chemin d'intégration, quel qu'il soit, se compose de parties dont chacune appartient à une seule bande et peut ainsi être ramenée, par translation, à être située dans (Bq). On pourra donc se borner à considérer des chemins d'intégration situés dans (Bo).

La même réduction s'effectue encore «en appliquant le théorème de Cauchj (n° 352) : on peut, en effet, substituer au chemin (C) un chemin (C) ayant les mêmes extrémités, tel qu'on puisse déformer.le chemin (C) pour l'amener sur le chemin (C) sans passer par aucun pôle de X^u. Le même théorème permet même de supposer qu'un ou plusieurs pôles de X^it se trouvent à l'intérieur de l'aire limitée par les chemins (C) et (C) pourvu qu'on en tienne compte. Si le chemin (C) va de Uq à U\ on déterminera dans (B©) deux points wjj, u\ respectivement congrus à Wo, Mi modulis 2(04, 2(i>8, et l'on substituera au chemin (C) le chemin (C) composé du chemin rectiligne qui va de Uq à u^, d'un chemin quelconque situé dans (Bo) allant de u'^ à u\, et enfin du chemin rectiligne allant de u\ à M|, Les intégrales reclilignes s'obtiendront par la formule (CXVn2) et il ne restera plus qu'à effectuer l'intégration le long du chemin situé dans (Bq). Il va de soi qu'aucun pôle de^u ne doit se trouver sur le chemin (C'). Il ne faudra pas oublier de tenir compte des pôles contenus entre (C) et (C).

S04. Quant à l'intégration le long du chemin situé dans (Bo), on pourra se servir, pour l'effectuer, de la définition de log<^f^

j52 calcul intégral.

donnée au n" 470 et de la série Irigonométrique. Mais il faudra faire attention à la coupure : on pourra toujours l'éviter en appliquant convenablement le dernier procédé; sinon, on devra morceler le chemin en parties qui ne la traversent pas et effectuer l'intégration le long de chaque partie de chemin, en se rappelant que les valeurs de log^ w ne sont pas les mêmes sur les deux bords. Nous aurons l'occasion d'appliquer cette remarque dans le prochain paragraphe.

SOo. Rappelons enfin la formule, déjà utilisée au n° 497,

u est égale à 2a)< r et les chemins d'intégration se correspondent: ils sont semblables (et même homothétiques quand 2(0| est réel); le centre de similitude (ou d'homothétie) est le point o. Cette formule montre qu'il suffit de traiter le problème qui nous occupe

dans le cas où le signe / porte sur la quantité çj »

Quand on se donne la valeur de v^ la valeur de STi {v) est donnée par une série très convergente, de sorte que l'on peut aisément calculer la valeur de \o^^^{v) avec une très grande approximation, sauf toutefois un multiple de 'iTzi, qui est entièrement inconnu. Pour déterminer ce multiple, il suffit de calculer directement log2y< (r) au moyen des formules (CVI| , GV2), avec une erreui moindre que tc en valeur absolue, donc, avec une approximation assez grossière. Afin de savoir combien de termes il faut prendre * dans le développement de log2r< {v)^ donné par la formulé (CV2), pour avoir la valeur de ce logarithme avec une erreur moindre que 71 en valeur absolue, nous allons évaluer une limite supérieure de la valeur absolue de la somme

-— — ;— (2 sinrirt»)*,

rz=.n

où l'on suppose ^ = a + j3t, | j3 | ^ - • On a

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l53

et, par suite, h désignant la valeur absolue de q^

la dernière inégalité résultant de ce que la fonction x -\- x~^ de la variable positive x grandit lorsque a: diminue et de ce que, si fi

est positif, h} est plus petit que A'"?. On aura donc

( 2 smmvY

Le second membre de cette inégalité peut d^ailleurs s'écrire, en supposant r^n,

On en déduit, pour /i = i ,

I Ri < -: — Â^og

i-h "^ i — h et, pour n^ i,

' I — /i'»\ °i — h I 'A n — if

Les seconds membres vont manifestement en grandissant avec A. On trouve que â'^S r ^^^ plus petit queii pour h =0,57.

Si h est inférieur à cette limite, le calcul de la somme de la série qui figure dans la formule (GV2) est inutile; or, on verra que dans les applications les calculs peuvent être dirigés de façon que h reste très au-dessous de cette limite.

Pour h égal ou inférieur à 0,78 on trouve, de même, IR2 | ^^^ en sorte que, dans ce cas, il suffirait de calculer un terme de la série (CV2).

On voit donc comment l'indétermination pourra toujours être facilement levée.

11 est bien clair que le même procédé s'applique aussi bien aux expressions de log(^a(a) ou de logS^a^j {ç)^ données par les formules (CV1|; CV2).