III. — Seconde méthode ne convenant qu'au cas normal

506. Nous allons résoudre le même problème que dans le paragraphe précédent, en suivant une méthode toute différente, qui nous fournira des renseignements intéressants et utiles, concernant la fonction 2r<(ç^), mais qui ne convient qu'au cas où -: est

un nombre réel et positif.

Nous établirons d'abord la proposition suivante ( ' ) :

En supposant que -. soit réel et positif, la partie réelle et le

coefficient de «, dans la fonction Si (a -j- ^x | x) où a, ^ désignent des variables réelles dont les valeurs absolues sont inférieures ou

égales à -> sont respectivement du même signe que a et p.

Nous désignerons le point 3<(^) comme Y image du point v\ si ce point v décrit une figure (F), le point ^\{v) décrira une figure (F') qui sera l'image de la figure (F). On sait que dans ce mode de correspondance (représentation conforme) les angles se conservent.

Nous allons déterminer les images IV^, R!^, R3, R'^ des quatre rectangles R|, R2, R3, R| dont les sommets successifs ont respectivement pour affixes

11 suffit de faire cette étude pour le rectangle R|, car si Ton pose, en général,

où A et B désignent des nombres réels, on aura

2r,(a -px) = A — Bt, 2r,( — a — p-w) ^ — A — B£, 3r, ( a -I- Pt) = -- A -4- B i\

puisque, d'une part, la fonction 2y<(r) prend des valeurs imaginaires conjuguées pour des valeurs imaginaires conjuguées de v

(') Voyez ScHWAUZ, Formules, clc, 11" 51.

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l55

et que, d'autre part, cette fonction est impaire. Par conséquent, K\ et Rj seront symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires; R, et Rg seront symétriques par rapport au point o; R, et R^ seront symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles.

507. Tout revient donc à étudier l'image R'^ du rectangle R<. Supposons que le point v décrive ce rectangle dans le sens direct

en partant du point o. Quand v croît par valeurs réelles de o à -?

la fonction 2r, (<;) est réelle et croît depuis o jusqu'à

ainsi qu'il résulte du n° 175 et des formules (XXXlVji), (XXX VI2); le point S|(ç') décrit donc le segment de droite qui va (*) du

point o au point Sr^ y-y Supposons, maintenant, que le point r

-it

rR.»)

^sC-^J

décrive le second côté du rectangle ; nous ferons v =^ — h a-> en

( ' ) Sur la figure, on a supposé ^ = 0,8 et Vimage est réduite au quart des dimensions réelles qu'elle devrait avoir par rapport à celles des rectangles R,, H,, R,, R^.

l56 CALCUL INTÉGRAL.

supposant que la variable réelle a croisse deoài;&H--f-a-j

est alors égal à 2^2(01-) : c'est une quantité réelle, positive et

croissante avec a, ainsi qu'il résulte immédiatement de la formule (XXXII2) qui montre que la fonction 2r2('^)ï où ç est une variable positive, est une somme de termes positifs qui croissent

tous avec v, lors donc que a croît de o à i, la fonction &2(3tr) croît en restant réelle et positive de ^2(0) à

en sorte que, lorsque le point v décrit le second côté du rectangle, son image décrit le segment de l'axe des quantités réelles qui va

du point 2^1 ( - ) au point &| ( )•

Tandis que le point ç' décrit les deux premiers côtés du rectangle qui se réunissent à angle droit au point -» son image

décrit deux portions de droite qui sont dans le prolongement l'une de l'autre. Cette contradiction apparente avec le principe de

la conservation des angles tient à ce que, au point -> la dérivée de

la fonction ^i (i>) est nulle (XXXV2).

Supposons, maintenant, que le point ç décrive le troisième

côté du rectangle, qui va du point — - — au point -; on fera

v= — et l'on fera croître la variable réelle a de o à i: on

aura alors

.,<., = ^.(ii^-î)„,-!..(?)

Lorsque a croît de o à i, la fonction 2^3 ( 7) est réelle, positive

et décroît (n° 175) depuis la valeur 2^3(0) = ÇoÇl jusqu'à la valeur 2^4 (o) = <7o<73; d'ailleurs, la valeur absolue de 2^,(1^) est

q * 213 ( - ) ; son argument est — ; le point &< (r) décrit donc, dans

les mêmes conditions, une portion de courbe représentée en coordonnées polaires p, w, quand on prend l'origine pour pôle et l'axe des quantités réelles positives pour direction positive de

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l5'J

l'axe polaire, par l'équation

dans laquelle on devra faire varier w de o à -• Cette courbe relie

le point S, ( — ^ — - ). situé sur l'axe des quantités réelles, au point

STi (-)' situé sur la partie supérieure de l'axe des quantités purement imaginaires; le rayon vecteur qui va du point o à un point de la courbe décroît à mesure qu'il tourne dans le sens positif (*). Supposons, enfin, que le point v décrive le quatrième côté du

rectangle qui va du point - au point o. La fonction STi (i^) est pu-

rement imaginaire; le point 2ri(^) ira donc, en restant sur l'axe

des quantités purement imaginaires, du point STi ( -- j au point o:

du reste, il est bien aisé de voir, en raisonnant comme au n° 175, que le coefficient de i dans Si (ç)^ quand - croît, par valeurs po-

sitives, de o à — .> est positif et croissant (-).

(') Cette courbe peut, suivant les cas, présenter ou non, un point d'inflexion. (') Reprenons les notations du n*> 175 et posons

On déduira de Tégalité (XXXIII,) la suivante :

tù\ I p(2u>,«v; -+-^|;

la fonction réelle p(2w,i<v) est égale à — oo pour w = o; elle est croissante quand w croit par valeurs positives jusqu'à la valeur w = — — . = — qui annule sa dérivée; pour cette valeur de w le second membre est égal à

quantité négative (XXX,); lors donc que w croit de o à — . par valeurs positives, la fonction décroissante

/(iV) &,(£«;)'

d'abord positive, se réduit, pour w = — ., à x, comme il résulte de la formule

En vertu du principe de la conservation des angles, la ligne courbe, image du troisième côté du rectangle R|, rencontre à angle droit les axes des quantités réelles et des quantités purement imaginaires sur lesquels sont situées les images des second et quatrième côtés de ce rectangle.

En résumé, quand le point v décrit le rectangle R dans le sens direct, en partant du point o, son image décrit, aussi dans le sens direct, le contour R' d'une aire limitée par le segment de Taxe des

quantités positives qui va du point o au point 3,^ \ en

passant par le point Sif-j? par une portion de courbe qui rejoint le point S| ( — — ] au point 2r, (-j, enfin, par le segment

de l'axe des quantités purement imaginaires qui va de ce dernier point au point o.

508. Nous allons montrer que l'aire (Ri), limitée par le rectangle R|, a pour image l'aire (R',), limitée par le contour R,. A chaque point situé à l'intérieur de R| correspond évidemment un point et un seul situé à l'intérieur de R'^. Inversement à chaque point a, situé à l'intérieur de R'^ , correspond un point et un seul v situé à l'intérieur de R| ; en d'autres termes, l'équation en ç'

admet une seule racine figurée par un point à l'intérieur du rectangle Ri. On sait, en effet, que si une fonction /{i^) est holomorphe à l'intérieur d'un contour (C), le nombre de zéros de /{i^) contenus à l'intérieur de ce contour (C) est égal au quotient par iiiz de l'intégrale de la fonction rflog/(p), prise le long de (C) dans le sens direct, ou, ce qui revient au même, au quotient par [iTz de la quantité dont s'augmente l'argument de /(v)y quand v décrit le contour (C) dans le sens direct. Mais, lorsque le point i^ décrit le contour Ri dans le sens direct, le point ^i{v) décrit

(XXXVJ; elle est donc toujours positive. Dans ce môme intervalle la fonction

f{w) ne s'annule que pour tv = o; elle est toujours positive pour tv = -: ; la

fonction /'(iv) est donc, elle aussi, toujours positive et la fonction /(tv) toujours croissante, ce qu'il fallait démontrer.

le contour R'^ dans le sens direct et le segment de droite qui joint le point a au point Si (p) tourne autour du point a, dans le sens direct, d'un angle égal à 2 7r; l'argument de Si ((^) — a augmente donc de 27r; donc le nombre de zéros de la fonction holomorphe STi (p) — a, contenus à l'intérieur de R^ est égal à i .

De ce que (R',) est l'image de (R<), il suit que la partie réelle et le coefficient de «dans la quantité 2r|(aH- ^t), où a et p sont des

nombres réels, compris entre o et -> sont positifs; on peut même

ajouter que la partie réelle est inférieure à STi

Des conclusions toutes semblables s'appliquent aux images Rj, R3, R]^ des rectangles R2, R3, Rj, images qui se déduisent toutes de R'^ par sjmétrie. Les contours R!,, R'^, R, limitent des aires (Rj), (R3), (R4) qui sont les images des aires (R2)î (Ra)» (K.4)^ limitées par les rectangles Ro, R3, R». Quand le point s? décrit dans le sens direct un des contours R2, R3, R4, son image décrit le contour correspondant dans le sens direct.

509. Remarquons, enfin, que les quatre aires (R<), (R2),(R3), (R4) forment, dans leur ensemble, une aire (R), limitée par un rectangle R; cette aire a pour image l'aire (R'), ensemble des aires (R'^), (R2)> (f^i)? ^\)^ limitée par un contour simple R', formé par Tare de courbe qui a été décrit plus haut et par des arcs symétriques.

Il est dès lors aisé, en pratiquant une coupure dans le rectangle (R), de définir dans ce rectangle log2r<(ç') comme une fonction univoque, le coefficient de /, dans celte fonction, étant l'argument de ^x(,^\

Lorsque v est un point de (R), 2^i(^) est un point de (R')» L'argument de ^\(y) peut être défini, sans ambiguïté, si l'on pratique dans (R') une coupure quelconque, allant du point o à un point de R' et ne se croisant pas elle-même; pour nous conformer aux habitudes, supposons que cette coupure soit pratiquée le long de l'axe des quantités négatives du point o au point

2^i(— — — -) en passant par le point S| ( j; le segment de

droite qui va du point o au point ^\\ — 7 ) est l'image simple du segment de droite qui va du point o au point dans le rec-

l6o CALCUL INTÉGRAL.

tanglc (R), le segment de droite qui va du point 2r, / j au

point Sii ( j est à la fois Timage du segment qui va du point

— " au point -^ et du segment qui va du point au point

-. On regardera la coupure totale comme ayant deux bords,

un bord supérieur sur lequel l'argument de Sr, {y^ est tc, un bord inférieur sur lequel cet argument est — tt. Pour les points Si (y^ de (R') qui ne sont pas sur la coupure, l'argument de 2ri(^) est compris entre — tt et -|- tt. Pratiquons, de même, dans (R) une

coupure rectiligne allant de o à — - et désignons par (Ro) la

figure ainsi modifiée, dont le contour est formé par la droite qui

va du point o au point — - (bord supérieur de la coupure), les

droites qui vont successivement du point au point

de ce point au point > de ce point au point — J^» de ce point

au point — ; > de ce point au point — - et de ce point au

poini o (bord inférieur de la coupure). Le contour de (Ro) est simple; la fonction logS^i (ç^) définie comme étant la valeur principale du logarithme de Si (t') est régulière en tout point v situé à rintérieur de (Ro)- Sur le bord supérieur de la coupure et sur

le segment qui va de à — le coefficient de /dans logSi (i^)

est tt; il est — tz sur le bord inférieur de la coupure et sur le seg-

ment qui va de — ; à ^» La fonction log&i(i') est définie

sans ambiguïté pour tous les points de (Ro) et de son contour, sauf au point o, à condition de distinguer les deux bords de la coupure.

510. Si Ton désigne par Pq et V\ deux points intérieurs à (Ro) et si l'on imagine un chemin allant de r© à v^ et dont tous les points soient intérieurs à Rq, on aura le long de ce chemin

r '§^^^ = log3^,(i',)- log2r,(Po),

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. lÔl

OÙ nous adopterons pourlog2r|((') la définition précédemment fixée. Cette égalité subsiste lorsque l'un des points Vq, ^\ vient sur le contour de (Ro) ^^ même sur la coupure, mais il importe de distinguer sur quel bord on se trouve; il suffit pour cela de considérer les points infiniment voisins de i^O') ^i sur le chemin d'intégration. Elle subsiste encore si les deux points Çq^ v^ sont sur la coupure et si l'intégrale est rectiligne; on peut, dans ce cas, se placer indifféremment sur un bord ou sur l'autre, mais il est indispensable de regarder les deux points ro, i^i comme placés sur le même bord.

511. Supposons maintenant que, eu allant de Vq à ('i pdi* 1^' chemin d'intégration, on reste toujours dans le rectangle (R), mais qu'on soit obligé de traverser la coupure au point v\ par exemple, en passant de bas en haut. Nous distinguerons les points i^', , {^'^ de même affixe que t'' et situés l'un sur le bord inférieur, l'autre sur le bord supérieur. On aura alors

où il est entendu que les intégrales portent sur la même quantité

^^ et que les intégrales du second membre sont respectivement

étendues aux deux portions du chemin d'intégration qui vont de i*o à i^', , de v[^ à i^i, lesquelles ne traversent plus la coupure. De cette égalité et de ce que log&i(c',), log3|(('!j) ont même partie réelle, tandis que leurs parties imaginaires sont respectivement égales à -r- -« et -I- 'ît/, on déduit

= log3ri(f,; -\og^i(vo)^ ir.i.

D'une façon générale, en supposant que le chemin d'intégration ne sorte pas du rectangle (R), on aura

(CXVIIIO . r '|ll^Jfifç;=.log2?i(i;i)--Iog3ri(i>o)-H»N^*,

en adoptant pour les logarithmes leurs déterminations princi- T. et M. — III. II

pales et en désignant par N un nombre entier que Ton obtient en ajoutant autant d'unités positives que le chemin d^intégration traverse de fois la coupure en allant de haut en bas, et autant d'unités négatives que le chemin d^intégration traverse de fois la coupure en allant de bas en haut.