Nous démontrerons d'abord les deux théorèmes suivants

I. — Si Von se donne deux nombres yaj Ys ^^'^ 9"^ V équation en y

47^ — Yî^ — Y3 = o

ait des racines distinctes ei , €2» ^3, ou, ce qui revient au même,

si Von se donne trois nombres distincts e,, 62. £3 dont la somme soit nulle et si Von pose

Yî= — 4(eî£j-i-ejei-heie,), Y3= 4616163,

il existe deux nombres Wi, (03 tels que la partie réelle du rapport -^ soit positive {non nulle) et qui vérifient les équations

(a) ^î{«*>i, W3) =^Tî» ^«(wi.ioj) = Ys.

II. - Si Von se donne un nombre x qui n^est ni négatif, ni positif et plus grand que 1 , il existe un nombre t dont le coefficient de la partie imaginaire est positifs qui vérifie l'équation

520. Nous commencerons par montrer que le théorème II, supposé vrai, entraîne le théorème I.

Les nombres distincts ei , £3, 63 étant donnés ( e« 4- £2 4- Ss = o), posons

El — £3

On peut toujours supposer que les nombres e<, ejj e» aient été rangés de façon que les conditions imposées à x soient vérifiées : elles le sont, quel que soit l'ordre de Si, £2» ^sj sî ces trois points ne sont pas en ligne droite; s'ils sont en ligne droite, on prendra pour £,, £3 les points extrêmes, pour £2 le point intermédiaire.

Avec le nombre t qui, par hypothèse, vérifie l'équation (p) construisons les fonctions 2r(p|T), puis, ayant choisi arbitrairement

la détermination de ^U^ — £3, déterminons cOf par la condition

^ /si — 63

et posons (O3 = co< t. Construisons ensuite les fonctions c^(tt | (Oi , W3), p(tt| w,, 0)3), ... et reprenons, pour toutes les quantités qui se rapportent à ces fonctions, la suite de nos notations habituelles. Nous aurons (XXXVI3)

Tt

2 (Oi

ON DONNE A* OU ^j, ^s *, TROUVER T OU Wj, W3. 178

et, par conséquent, y e« — eî3 = \/ei — £3; or, celte égalité, rapprochée de la définition de x et des équations

^î(-) — 1, ej|- e,-4- ^3= ei-f- ej-H £3 = o,

ex — €3

dont la première résuite de la formule (XXXVII4), montre, puisque x est, par hypothèse, égal à A^(t), que Ton a

«1 = £|, ej = £j, 63= £3, et, par conséquent, ^2 = Y2? ê's^ Ys-

521. Tout est donc ramené à la démonstration du théorème 11. Nous démontrerons d'abord ce théorème lorsque x est un nombre réel, positif, plus petit que un, et nous établirons, pour cela, la proposition suivante :

11^. — SI X est un nombre réel, positif, plus petit que un, on satisfait à r équation (p) en posant

Y* do x'-V ^"P r-*^'

.'0 VI — "'tsin*<p .7^ /i— (i — x}sin«(p ^

Dans les intégrales, où tout est réel, les radicaux ont le sens arithmétique; - est donc réel et positif.

Construisons, en effet, avec la valeur de t ainsi définie, les fonctions ^{v]-:), /f(T), A-'(t), K(':), K'(':); les quantités ^=*(t), A^2(t) seront réelles et positives (puisque t est purement imaginaire), plus petites que un (puisque leur somme est égale à un), et l'on aura, comme on Ta vu (* ) au n° 311,

' /» * do ' /» * do

(') A la vérité les formules du n*" 311 ont été déduites des formules des n*>* 297 et 298 qui donnent, sous forme d'intégrales, les expressions de w, y^e, — e^,

-r v^|— c, lorsque w^ et -^ sont réels et positifs; mais, d'une part, les formules

que nous citons dans le texte auraient auss'i bien pu être déduites directement

en donnant aux radicaux leur signification arithmétique. Puisque (LXXl3^4) /K'(t) est égal à tK(t), on a donc la proportion

./o /• (ï x)sin*cp

te

.( v/i-[i-^'(T)lsin«o

or cette proportion entraîne l'égalité y. =z k^ (^'zy, car si, dans le premier rapport, on regarde pour un instant x comme une variable et si Ton imagine que x augmente de o à i , le dénominateur augmentera en même temps que le numérateur diminuera; le rapport diminuera donc constamment et n'atteindra la valeur du second membre qu'une seule fois, quand x sera égal à A*^(t).

La proposition est donc démontrée, dans le cas où x est réel, positif, plus petit que un; en d'autres termes, dans ce cas, on a

ou, d'une façon plus explicite encore, si, dans le premier membre de l'équation (P), on remplace t par — > ce premier membre se réduit identiquement à x.

522. C'est cette dernière remarque, établie seulement dans le cas où X est positif et plus petit que un, qui va nous fournir la démonstration du théorème II dans sa généralité, démonstration qui résultera de ce que deux fonctions analytiques de x ne peuvent coïncider sur une ligne sans être partout identiques.

dans le cas où - est réel et positif, sans passer, comme nous l'avons fait, par

riniermédiaire des fonctions \\ et, d'autre part, si l'on veut rétablir toute la chaîne des déductions que nous avons faites dans ces divers numéros, il suffit, après avoir choisi t comme nous venons de l'expliquer, de choisir arbitrairement

le nombre positif u),, de prendre u), = w,t, en sorte que -r soit réel et positif, de

construire toutes les fonctions dont on a besoin au moyen des demi-périodes co,, O),; e,, c,, c, sont alors réels, rangés par ordre de grandeur décroissante, etc. : la conclusion est la même, et les quantités w,, w, ne figurent dans cette conclusion que par leur rapport t.

ON DONNE k^ OU gty gz'', TROUVER T OU &),, Ck)j. 1^5

Nous établirons le ihéorème suivant :

11^. — En supposant que x ne soit ni un nombre négatif, ni un nombre positif plus grand que un, on satisfera à V équation X = A:^(t), en faisant

On suppose que la variable d^ intégration ^soit réelle et que les parties réelles des radicaux soient positives. Dans ces conditions, le coejjîcient de i dans t est positif,

523. Observons d'abord que les intégrales défînies qui précèdent ont un sens pourvu qu'on fixe la signification des radicaux et que les quantités sous les radicaux ne s'annulent pas dans les limites de l'intégration; dans ces limites i — xsin^o ne peut s'annuler que si x est réel et plus grand que un, i — (i — x) sin'cp ne peut s'annuler que si x est négatif.

Ces remarques conduisent à introduire dans le plan qui sert à représenter le nombre x deux coupures, l'une qui ira du point i à -4- 00 en suivant l'axe des quantités positives, l'autre qui va de o à — 00 en suivant l'axe des quantités négatives. Nous désignerons par (T) le plan dans lequel on a pratiqué la première coupure seulement, par (T') le plan dans lequel on a pratiqué la seconde coupure seulement, par (G), enfin, le plan avec les deux coupures. Il va sans dire que quand on parlera d'un point appartenant à l'un des plans coupés (T), (T'), (5), on entendra que ce point n'est pas sur une coupure du plan considéré.

C'est surtout au plan (S), à deux coupures, que nous aurons affaire : nous réunissons ici quelques remarques et conventions qui nous seront utiles, soit immédiatement, soit dans la suite.

L'argument de tout point x du plan (5) sera supposé compris entre — t: et 4-ir; cet argument varie d'une façon continue avec X, qui, encore une fois, ne doit jamais traverser les coupures. C'est cette valeur de l'argument que l'on adoptera pour celles des fonctions de x dont la détermination dépend de l'argument de la

variable; ainsi, en désignant par m un entier positif, ^ sera un nombre dont la valeur absolue sera la racine m*^"* arithmétique

de I X I, et dont l'argument sera compris entre et — ; ^ x sera

alors dans le plan (^) une fonction holomorphe de x, fonction dont la partie réelle sera positive et dans laquelle le coefficient de / aura le même signe que le coefficient de i dans x. De même logx sera un nombre dont la partie réelle sera le logarithme népérien de |x|, et dans lequel le coefficient de i sera Targument de x; ce coefficient sera encore du même signe que le coefficient de i dans x, et Ton aura

l0gX = l0g(— XI TTt,

suivant que le coefficient de i dans x sera positif ou négatif.

Il est clair que le point i • — x est le symétrique du point x par rapport au point ^, qui est lui-même un centre de symétrie pour

les deux coupures; les deux points appartiennent en même temps au plan coupé.

Tout ce qu'on vient de dire de l'argument de x, de ^'x, de

logx, s'applique naturellement à l'argument de 1 — x, à ^1 — x,

à log(i — x); on observera, en passant, que les coefficients de i

dans X et dans i - x sont de signes contraires.

Toutes les fois que, z désignant une quantité quelconque, loge

est défini, nous entendrons par log(a3), où a est un nombre positif

quelconque,

log(az) = loga -4- log;;,

où loga a sa valeur arithmétique.

ON DONNE A* OU gt, g^\ TROUVER T OU 0),, W3. I77

Lorsque x appartient au plan (5) nous adopterons pour log—— la détermination logx — Iog(i — x); on peut dire encore

que le coefticient de i dans log est Tangle moindre que ir en

valeur absolue, sous lequel on voit du point o le segment qui va du point I — X au point x : cet angle est positif si x est au-dessus de l'axe des quantités réelles, négatif dans le cas contraire. Cette

détermination est encore la valeur principale de log > qui est

holomorphe dans (S).

Lorsque cp varie de o à -, le point i — xsin^cp décrit le segment

de droite qui va du point i au point i — x; en même temps le point I — (i — •x)sin2îp décrit le segment de droite qui va du point I au point x; les deux points i — x sin^cp, i — (i — x) sin^ç, qui, pour une même valeur de cp, sont situés sur une même parallèle à la droite qui joint le point 1 — X au point X, appartiennent au plan (g), si le point x appartient à ce plan.

Nous définirons les quantités ^i — • xsin^cp, y/i — (i — x) sin^cp

d'après la règle générale donnée plus haut pour y/x, y/i — • x : leur partie réelle, qui ne s'annule certainement pas, est alors positive, de sorte que la définition qu'on adopte ici est conforme à celle qu'on a adoptée dans l'énoncé du théorème lU, pour préciser le sens des intégrales définies X, X'; les coefficients de ^'dans ces deux radicaux

sont d'ailleurs de signes contraires. Le point y^M — xsin*'^ est situé dans Tangle aigu formé d'une part par l'axe OP des quantités positives, de l'autre par la bissectrice de Tangle formé par ce même

axe et la droite qui va de O au point i — x; le point — est

V I — xsin*<p

situé dans l'angle aigu POA symétrique de l'angle qu'on vient de définir par rapport à Taxe OP. On verra de même que le point

-—=r^r=== est situé dans l'angle aigu POA' de la figure : la V^i — (i — x) sin*;p

direction OA' est la symétrique, par rapport à l'axe OP, de la bissectrice de l'angle formé par la droite OP d'une part, par la droite qui va de O à x, d'autre part. Dans la figure la direction OA est au-dessus de l'axe des quantités réelles, et la direction OA' est au-dessous; cela tient à ce que le point x a été pris T. et M 12

au-dessus de l'axe des quantités réelles; ce serait l'inverse s'il était au-dessous.

524. On reconnaît immédiatement que si deux nombres imaginaires sont représentés par deux points situés à l'intérieur d'un angle ayant pour sommet le point O, la somme de ces deux nombres sera représentée aussi par un point situé à l'intérieur du même angle; il en sera de même si l'on considère autant de nombres que Ton veut, tous représentés par des points situés à l'intérieur d'un même angle, et la même conclusion s'étend à une intégrale, qui est la limite d'une somme. On voit donc que Tintégrale définie X sera représentée par un point situé à l'intérieur de l'angle POA et l'intégrale définie X' par un point situé à l'intérieur de l'angle POA';- les parties réelles des deux nombres X, X' sont essentiellement positives; quant aux coefficients de f, ils sont de signes contraires; le premier est positif, le second négatif quand le coefficient de i dans x est positif, comme dans le cas de la figure ; c'est l'inverse quand x est situé au-dessous de l'axe des quantités réelles; les coefficients de i dans X, X' ne sont nuls que si X est réel, positif, plus petit que un. Dans tous les cas, Tangle AOA', qui est la moitié de l'angle sous lequel on voit du point O le segment qui va du point i — x au point x est aigu ; il en est de même, a forliori, de l'angle intérieur à celui-là formé par les deux directions qui vont du point O aux points X, x', c'est-à-dire

de l'argument du rapport — • La partie réelle de ce rapport est

donc positive : il en serait de même de la partie réelle du rapport

inverse. On observera que l'argument de — » fixé comme nous l'a-

vons fait, est, d'après ce qu'on vient de dire sur la position des points x', X, négatif si le point x est au-dessus de l'axe des quantités réelles, positif dans le cas contraire; en d'autres termes, les

x' coefficients de i dans '— et dans x sont de signes contraires.

Ceci posé, dans le plan (g), X et x' sont des fonctions univoques de X, d'après leur définition même. En chaque point du plan (G) ces fonctions sont régulières, c'est-à-dire que si Ton augmente x d'une quantité A, suffisamment petite en valeur absolue, les fonctions X et x' ainsi modifiées sont développables en séries entières

ON DONNE A*' OU ^„ g^] TROUVER T OU Wi, W3. I79

en A (on donnera tout à Theure les expressions de ces séries); elles sont donc des fonctions holomorphes de x dans le plan (g).

Il en est de même du rapport — puisque X ne s'annule pas, non

plus que sa partie réelle.

Reportons- nous maintenant à l'équation Ar^(T)=^x. D'après la

16///7* formule (XXXVlIe), fc^ est égal à — ^; il est donc clair que si

l'on regarde t comme une variable, A'^(t) sera une fonction holomorphe de t pour tous les points t situés au-dessus de l'axe des

quantités réelles; or le rapport — est représenté par un tel point,

tant que x appartient au plan (g); ^^('^), quand on y regarde t

comme égal à — » est donc une fonction (de fonction) holomorphe

de x; or /r^ ( i j est égal à x quand x est réel compris entre o et i;

donc enfin l'égalité k^ ( — ) = ^ subsistera pour toutes les valeurs de X appartenant au plan (Cs).