Nous avons obtenu une solution de l'équation en t
A'^(t) = x, à savoir t = — ; nous nous proposons maintenant de
les avoir toutes. Et d'abord, dès qu'il y a une solution, il est bien évident qu'il y en a une infinité^ si a, 6, c, d sont quatre nombres entiers choisis parmi ceux qui satisfont aux conditions du cas i" du Tableau (XXc), on a, en effet, comme il résulte du Tableau (LXXX5) dans le cas 1",
de sorte que, si a, d sont des entiers impairs et 6, c des entiers
pairs tels que l'on ait ad — bc=i,]e nombre r^ est, en même
temps que le nombre t, solution de l'équation A"^(t) ^^ y.. Mais n'y en a-t-il point d'autres?
Nous avons rappelé que la fonction y ^= sn(w | t) de « et de t vérifie l'équation difTérenlielle (LXX,)
la fonction 2 = sn2(u l*;) vérine donc manifestement l'équation
l80 CALCUL INTÉGRAL.
différentielle
Il en résulte que, si T| et Ta désignent deux solutions de l'équation A*2(t) = x, les deux fonctions sn2(tt|T,), sn^(w|T2) de la variable u vériGeront nécessairement la même équation différentielle
mais alors ces deux fonctions sn^ ( w | T| ), sn^ ( w | Ta ) de la variable u sont nécessairement identiques. En effet, on sait que la fonction snw est développable en une série de la forme
au -h bu^ -+- cu^ -+-...;
la fonction sn^M sera donc développable en une série de la forme
or, comme il est bien aisé de le voir, l'équation différentielle précédente détermine sans ambiguïté les coefficients A, B, C, ... de ce développement en fonction de x seulement.
A la vérité, la démonstration ne s'applique que dans le domaine de convergence de la série en w^; mais, comme deux fonctions analytiques de u ne peuvent coïncider dans une portion du plan sans coïncider partout, notre assertion n'en est pas moins évidente.
Les deux fonctions sn^(w|T|), sïi^{u\'Z2) de la variable u étant identiques admettent évidemment les mêmes zéros : les nombres (*) 2/WiK(T|)-f-2m', /R'(ti) sont donc les mêmes dans leur ensemble que les nombres 2m2K(T2)H- 7,m^i¥J{i2) en supposant que mi, m^, ma, ni'^ soient des entiers; c'est-à-dire que les nombres K(ti), iR'(ti) doivent être équivalents aux nombres K(t2), /K'(t2); ils ne peuvent être que proprement équivalents, puisque les coefficients de i dans les rapports
iî 1. , V — '•2»
(») Voir Tome II, p. a85, Jig. i.
ON DONNE k^ OU ^„ g^\ TROUVER T OU to,, Wj. l8l
sont de même signe; en d'autres termes, il existe quatre entiers a, è, c, d liés par la relation ad — 6c = i , tels que Ton ait
K (':,) = aK(Ti)-4-6tK'(TO, iK' (x,) = c K(ti) -f- c//K'(ti ).
D'ailleurs la fonction sn^(w|T2) devient infinie, ou égale à un, quand on suppose u égal à iVJ {i2)t ou à K(':2); il doit en être de même de la fonction su^{u \ T| ) qui est la même fonction de u que sn*(w|T2), quand on y suppose u égal à cK(t<) + rfiK'(Ti) ou à aR(T4) -h 6/K'(ti); on en conclut bien aisément, par les formules (LXXII), que c et i sont pairs, a et rf impairs. Si i^ est une solution de l'équation x = A:^(t), toute solution de cette équation est donc de la forme
a -+- bi^
où a, 6, c, 6f sont quatre nombres entiers qui satisfont aux conditions du cas i" du Tableau de formules relatives à la transforma-
lion linéaire. Or Ti = — est une telle solution: les nombres dé-
finis par la formule
