CX-+- di

où a et cf sont congrus à i, modulis 4f tandis que 6 et c sont des nombres pairs choisis parmi ceux pour lesquels on a ad — 6c — i, et ceux-là seulement, qui répondent à la question. (Cf. Sgrwarz, Formules, p. 3i.)

l8a CALCUL INTÉGRAL.

fonction pour x = Xq peut être mise d'après ce qui précèâe sous la forme

cx(xo)4-rfix'(xo) " ~~ ax(xo)4-6tx'(xo)'

OÙ ay bj c, d sont des nombres déterminés choisis parmi ceux du cas I** du Tableau (XXo). La fonction de x

cx(x)-h rf/x'(x) ax(x) -+- 6ix'(x)

se réduit à t©, pour x =:xo, et vérifie identiquement l'équation Ar^(T)==x. C'est la seule fonction de x, régulière en x©, qui satisfasse à cette double condition; en efiet, une telle fonction est entièrement déterminée, puisque l'équation Âr^(t) =x détermine sans ambiguïté les valeurs, pour x = x©, de toutes ses dérivées.

527. D'après ce qu'on a dit au n** 520, on obtient une solution des équations (a) en prenant une solution de l'équation x =: Ar^(T),

ix'

par exemple la solution t= — » en choisissant arbitrairement une détermination de y/si — 63, puis en faisant

OU, ce qui revient au même,

on a alors, comme on l'a vu au même numéro,

Ca = p(wa| wj, wj) = £«, V^ej — es = -r— ^ = /ei — £3.

528. On peut sans peine déduire toutes les solutions des équations (a) d'une solution (i)|, (1)3; en effet, une seconde solution iù\j (1)3 conduirait à la même fonction pu que la solution coi, W3, puisque les deux fonctions vérifieraient la même équation différentielle et comporteraient les mêmes développements en série. Les deux fonctions p(a | Wi, 0)3), p{u\ tù\, Wg) étant identiques, les réseaux des parallélogrammes de périodes coïncident : on en conclut que les nombres w', , Wj sont proprement ou impro-

ON DOMNE A- OU ^,, ^3; TROUVER T OU W,, (1)3. l83

prement équivalents aux nombres co^, (O3; en d'autres termes, toutes les solutions des équations (a) sont données par les formules

(tiAlAj) Wj = n tOs = — - »

où a, 6, c, d sont des entiers assujettis à la condition ad — ic = i . Les fonctions analytiques de ^2? Ys qiie définissent les formules précédentes sont d'ailleurs les seules qui, mises à la place de coi, CO3 dans les seconds membres des équations (a) transforment ces équations en identités. Le problème proposé est donc résolu.

529. Revenons maintenant à l'équation k^(^':):^.x et à ce fait essentiel que, en supposant le point x dans le plan ((s), elle se

transforme en identité quand on y remplace t par — ; nous allons

réunir ici quelques conséquences de cette proposition, conséquences qui nous serons utiles plus tard.

Tout d'abord on a, en attribuant à ^x, ^'^i — x les significations qui ont été spécifiées au n^ 523,

en efiet, pour chacune des deux égalités, les quatrièmes puissances des deux membres sont égales, en vertu de l'égalité

x= k^ I — j et, pour chacune des égalités, les seconds membres

sont, comme les premiers, positifs lorsque x est positif et plus petit que un; l'égalité, établie pour ces dernières valeurs de x, subsiste dans tout le plan (S), puisque les diverses fonctions que Ton considère sont holomorphes dans ce plan. On peut écrire encore

(cxixo t/x = ^A- ( ^ j , V'i'=^ = y/^^ ) •

Des relations (XLi) on a déjà déduit au n" 173 la relation

JïiTr)= '-^^^> = a.i(oh)-^>(oh).

iH-v/Fëô ï'»(o|x)-*-Sr»(o|T/

r84 CALCUL INTÉGRAL.

comme on vient de voir que, dans tout le plan (Ç), i/A^ ( ~ ) est égal à ^ I — X, on a donc, dans tout le plan (G),

En se reportant à la formule (XXXVIIi), on en conclut régallté

(GXïXs)

v/i — X ^ 'iq ->riq^ -^'xq^^

où, dans le second membre, on suppose que q=ze'"^^ est remplacé

par e * .

L'expression ^. » qui est évidemment une fonction ho-

lomorphe de x dans le plan ((B), jouera un grand rôle dans les calculs numériques; nous la représenterons par p. Observons que sa valeur absolue est plus petite que i, car, la partie réelle de

^i — X étant positive, le point ^i — x est à une distance moindre du point I que du point — i, et le rapport de ces deux distances n'est autre chose que la valeur absolue de 3.