CXIX:) <• V 2 , I X

d'où, à cause de la relation (XXXVI5),

(cxix,) •>.^xt/r-x(yx)'-i/|â'.(o i^).

531. La première formule (XLi) donne immédiatement, en tenant compte des formules (XXXV'Il2) et (LXXI3),

KUx) = ^27UoM')=|^.Uoh;[i-fVA'(T)r

Voyons ce que devient cette égalité quand on y remplace t

par -^ > X et x' étant les fonctions holomorphes précédemment

définies de la variable x qui est assujettie à rester dans le plan ((9). La fonction A"^(t) se change alors en x; A2(4t) se change donc (CXIX5) en

,(/i xY

e' = l rp^-=:^ >

j86 Calcul intégral.

quantité qui, comme nous l'avons vu, est en valeur absolue plus petite que i. Désignons aussi par X| ce que devientx quand on y remplace x par Xi : à la vérité Xi peut être négatif et se trouver, par suite, sur une coupure du plan (6); Xi n'en est pas moins défini puisque Ton a vu que la coupure pratiquée le long de Taxe des quantités négatives n'intéresse pas X qui est défini dans tout le plan (T).

Le dernier membre de l'égalité à transformer devient manifestement

Pour voir ce que devient le premier membre, plaçons-nous

d'abord dans le cas normal où - est réel et positif; x= ^*(t) est

alors réel, positif et plus petit que i, et il en est de même de ^* i=k^(^x); il est donc clair que dans le cas normal X| est égal à K(4t) comme X est égal à K(t). On a donc, dans ce cas, l'égalité

D'ailleurs, quand x reste dans (S), p* reste dans (T) ; X| est donc une fonction (de fonction) holomorphe de x; il en est manifestement de même du second membre de l'égalité précédente; cette égalité subsiste donc pour toutes les valeurs de x qui appartiennent au plan (S).

En écrivant x(x) au lieu de X, c'est-à-dire en regardant X comme un signe fonctionnel indiquant une opération à effectuer sur le nombre x, on pourrait écrire le résultat précédent sous la forme

(Gxix,) X |^(i^|gy j = j x(x) (i ^ vrr-^y.

En se rappelant que K'(4t) est égal à 4tTK(4T) comme K'(t) est égal à itK(t), on déduit de l'égalité (a), la suivante

En désignant par x'^ ce que devient x' quand on y remplace x par p*, et en raisonnant comme tout à l'heure, on verrait que.

ON DONNE k* OU gi, gz; TROUVER T OU Wi, W3. 187

dans le cas normal où - est réel et positif, cette égalité devient,

lorsqu^on y remplace t par — >

mais cette égalité ne subsiste pas dans tout le plan (cs) parce que la coupure le long de l'axe des quantités négatives intéresse l'intégrale x'.

532. Pour ce qui est de la solution des équations (a), où e|, Z2t S3 sont les données, solution qui est fournie parles formules

10| = y ai3 =

nous avons fixé arbitrairement la signification de \/ei — £3, sans rien dire de y/sj — 62» \^^2 — ^sî convenons de prendre

/e,— 6, = /6i — e, v/i— X, /ej — 63 - — /ei— £3 A;

les radicaux y/^i — 62, ^e^ — «3 coïncideront alors respectivement avec les radicaux y/si — 62, y/Sa — £3? on sait déjà que y/^j — e^ coïncide avec \Jtx — 63.

Choisissons pour y/ei — £3 celle des racines carrées de \jtx — t^

que l'on voudra, et prenons, en conservant pour yj\ la détermination spécifiée plus haut,

(CXïXg) V/C^=^^^i^;

à cause de la formule (XXXVI3), on aura alors J/^i -e^ = v^* — ^3-

Déterminons enfin les valeurs de y/ei — £2» V^a — ^3 par les conditions

(CXIX9) v^ej — e, = v^ej — e, v^i — x, V^Eî— 63 = i ^^e,— ej V^,

et les valeurs de y/ci — ^2, ^62 — ^3 coïncideront avec celles de ^/fij — £2, ^'^2 — 63.

j88 Calcul lntêgral.