II. — Etude de Tintégrale / . ' = considérée

comme fonction de x.

533. Nous allons maintenant étudier de plus près les fonctions de X,

•tz

/i — /.silice- J^ /i — (I— x)sinîo

que nous désignerons aussi par x(x), x'(x) = x(i — x). Ces deux fonctions sont (n° 524) holomorphes dans le plan (6); la première est holomorphe dans le plan (T), la seconde dans le plan (T').

En supposant que x appartienne à (T) et que le cercle décrit du point X comme centre avec un rayon égal à | A | n'atteigne pas la coupure de (T), on peut écrire

J \ — (X-+- /i ) sin'o / r-T— , / yisin^o

^ ^ ' • /i — xsiii*o4/ I H-—

• \ 1 — xsin'o

en conservant à tous les radicaux le sens prescrit au n® 523; les deux membres sont, en effet, certainement égaux au signe près et les signes sont les mêmes pour les petites valeurs de A; l'égalité subsiste donc tant que les deux membres sont des fonctions holomorphes de h. En développant la quantité

/ // sin*o \

\ I — xsin*©/

par la formule du binôme, et en intégrant entre les limites o et ;^ on trouve

Xfx -+- h) = X(x) -H - Ji A H ^ JjA*4-...H '—LJILI — ^ J^^^/i -^-...^

où Ton a posé

tz

/** sin"»© do "^ I ' — ÏI+^*

ON DONNE k' OU ^„ ^3; TROUVER T OU Wi, W3. 189

Il est aisé d'obtenir pour les intégrales J;, une formule de réduction. En intégrant entre o et 7 les deux membres de l'égalité

-7- [(I — xsin*o) * sin^^-^cp cosçj

= (2n-f-i)x(i — xsin'©) * sin5«©(i — sin*cp)

tw-f-l

-+-(211 --1) (1 — xfiin*oj ^ sin"»~'©(i — sin*çp)

— (i — xsin'çp) ^ sin*"©, on trouve

y (i — xsin««p)

-t-('Jt/i— 1) / — ^ ^„^i — (2/i-n)xJ;t4-i— (?^^— i)J/f— J/i.

D'ailleurs, on reconnaît sans peine que les deux, intégrales qui figurent dans le second membre sont respectivement égales à xJ//+i -f- J/î, xJ„-f- J„i ^ on en conclut l'égalité

{'in -f- l)(z* — x)J„H i-i- 2Al('JlX — l)J/|H- (2/t — l)J/ï-I = o.

Jo n'est autre chose que X ; les fonctions suivantes J, , Jj, J3, . . . sont, à des facteurs numériques près, les dérivées successives de x; la relation précédente n'est donc pas autre chose qu'une relation linéaire entre trois dérivées consécutives de X; en particulier, si l'on suppose /i=:i, on trouve que X vérifie l'équation différentielle du second ordre ( ' )

d* y dy \

534. Cette équation ne change pas, comme on s'en assure immédiatement, quand on change xen i — x. Il en résulte que X'(x), qui n'est autre chose que x(i — x), vérifie aussi l'équation (y).

(') M. L. Fuch s (Cre//e, t. 71, p. 91) a le premier appliqué les propriétés des équations différentielles linéaires à Tétude des modules de périodicité des fonctions hyperelliptiques, et, en particulier, à l'étude de la fonction que nous désignons par X.

JQO CALCUL INTÉGRAL.

Le fait que cette équation (y) ne change pas quand on y change x en I — X n'est pas isolé ; elle ne change pas non plus quand on

change x en - ou en et y en j^\/x, ou encore quand on

change x en — — — - ou en — - et^ en^'y/i — x.

Si, par exemple, en désignant par y^ une fonction de la variable Xj, on pose

x,= ^-, ri=r/» — 5^»

y sera une fonction de x qui s'obtiendra en remplaçant Xj par

dans y^ et en divisant le résultat par y/i — x; on aura dans ces conditions

puis

et l'on voit ainsi que, si la fonction y^ ~-f{^\) annule identiquement le premier membre, la fonction

annulera identiquement le second. C'est la proposition annoncée dans l'un des cas.

53o. Quoique cette vérification suffise à notre objet essentiel, nous voulons indiquer l'origine des propriétés de celle nature.

Observons d'abord que, si l'on regarde t comme l'une quelconque des fonctions analytiques de x définies par l'équation (p), y,:ljz k'^i^i)^ les fonctions K(t), K'(t) regardées comme des fonctions de X, vérifient l'équation (y) : en effet, ces fonctions sont (n** 523) des combinaisons linéaires à coefficients constants de X, x'.

ON DONNE k^ OU gt, g^; TROUVER T OU Wi, Wj. I9I

Considérons maintenant, outre Tëquation (^), Téquation

et supposons que t et T| soieat des fonctions analytiques ^(x), gi (x^) qui vérifient ces équations; les fonctions K(t), K'(t) d'une part, les fonctions K(Ti), K'(t4) de l'autre vérifieront respectivement Téquation (y) et Téq nation

Si, maintenant, en désignant par a, p, y, 5 quatre nombres entiers dont le déterminant aS — py soit positif, on établit entre t et Ti la relation

cela revient à établir une relation entre x et Xi, à savoir

nous représenterons, pour abréger, ces relations par X| zzzzf(^x), X rr= F(xi ). On a d'ailleurs

K(T,) ~'^*~ aK(T)-+-ptK'('c)'

et, par suite, en désignant par z une fonction convenable de t, on

peut poser

K(t,)- z[aK('c)--ptK'(T)],

K'(TO-f[TK(T)H-StK'(T)J;

il résulte de là que les quantités >sK(t), 5K'(t), qui sont évidemment des combinaisons linéaires à coefficients constants de K(T|), K'(ti), si l'on y regarde t comme égal à^[F(x,)], vérifieront l'équation (yi)» en d autres termes si, dans cette équation, on commence par faire le changement de variable et de fonction défini par les relations

où dans z, t doit être remplacé par ^(x), elle se transformera en

une nouvelle équation du second ordre qui admettra les mêmes solutions K(t), K'(t) que l'équation (y); la transformée sera donc identique à cette équation (y). Cela revient à dire que Téquation (y) se change en elle-même quand on y change x en /(x), y en zy. Or, si l'on suppose que les entiers a, p, y, 5 vérifient la relation a8 — py r= I , on trouvera dans le Tableau (LXXX5), suivant les six cas possibles, que la fonction /(x) peut avoir les six

formes x, > -» • 1 — x, , auxquels correspondent,

X — IXI— X 'x * * '

d'après les formules (LXXXg^»), les valeurs de z données par la

formule 5 = r7> c'est-à-dire 1, sj \ — x, y/x, \J \ — x, 1, yx. On n'a

pas tenu compte pour écrire ces dernières valeurs du facteur ( — i) qui figure dans les cas 4° et 5°, ce facteur n'offrant aucun intérêt, puisque toute solution d'une équation linéaire peut être multiplier par une constante arbitraire.

On obtient ainsi les résultats mêmes que nous avions annoncés et dont le lien avec la théorie de la transformation linéaire apparaît clairement.

On voit de la même façon, en se reportant au n°531, que l'équation (yi ) se change dans l'équation (y) quand on y fait le changement de variable et de fonction défini par les formules

y,^yy\,^yT^,.XK^\

(') C'est maintenant un problème qui se pose naturellement que de chercher à déterminer les fonctions z et / de x, telles que l'équation (vj se change dans l'équation (y) quand on y fait le changement de variable et de fonction défini par les équations

Nous nous bornerons aux indications suivantes :

En désignant par des accents les dérivées prises par rapport à x, on trouve immédiatement les conditions

la première donne, en intégrant,

G est la constante d'intégration. En portant cette valeur de z dans la seconde

ON DONNE A- OU ^j, ^3; TROUVER T OU Wj, Wg. IqS

Observons aussi que Téquation différentielle (y) appartient au l^pe de l'équation, étudiée par Gauss, que vérifie la série hypergéométrique ( * )

dans le cas où Ton suppose a— j5-t -, y :^ i. A ce point de

vue, les propriétés relatives au changement de x en — — > -»

> I — X, - — ne sont que l'application à ce cas particulier de

propriétés connues de cette équation.

o36. Nous allons chercher la solution générale de l'équation différentielle (y). D'après les principes que nous avons rappelés dans l'Introduction, on sait que, si l'on considère un point Xq, autre que les points 0,1, il existe une fonction de x, vérifiant l'équation différentielle (y), fonction qui est holomorphe dans toute aire limitée par un contour simple ne contenant ni le point o, ni le point 1, qui, enfin, si l'on se donne deux nombres arbi-

équaiion, on trouve, pour déterminer/, l'équaLion difrôrenliplle du troisième ordre

V/ if ^/ L (f-/y (X--X). I °'

en remettant %^ à la place de / et en ne spécifiant plus la variable indépendante, cette équation se met sous la forme

idx cf%^{d'%^ d% — c/x, rf'x) — 3(c/''x, rfx — t/x, d'%) {d'%^ d% -■.- e/x, d'%) -t- d%] rfx' rV ; *^ - d%; - y-^l^î— 1 e/x«] ■- o.

Kn remplaçant respectivement x, x, par /i% /', on met cette équation sous la forme que lui a donnée Jacobi

2/>A' dl dk{dl d'k -dkdH) - Zk'l*{dl d^k dk dU) {dl d'k -r- dk dU)

On n'aurait aucune peine à former aussi l'équation diiïérentielle que vérifie z. \je lecteur reconnaîtra sans difficulté que c'est l'équation diiïérentielle du troisième ordre que doit vérifier le quotient de deux solutions quelconques de l'équation (7).

(') Voir^ par exemple, la Thèse de M Coursât [Annales de l'École JVormale supérieure, 1)^81 : supplément au tome X).

T. et M. III. i3

Irdives y-Q^ y'^ se réduit kyo pour x -Xq, tandis que sa dérivée, au même point, est égale àyj,.

D'après cela, si Xq appartient au plan (^), il y aura une solution de l'équation différentielle (y), holomorphe dans ce plan, qui-, pour xr:=Xo, sc réduira, ainsi que sa dérivée, à des valeurs arbitrairement prescrites : si ces valeurs sont celles que prennent, pour X = Xo, la fonction X et sa dérivée, ou la fonction x' et sa dérivée, cette solution holomorphe dans le plan (©) ne sera autre que la fonction X, ou la fonction x'.

Nous désignerons, dans ce qui suit, par Co, C| les cercles de rayon un décrits des points o, i comme centres, par D leur corde commune; par (Co), (C, ) les régions intérieures, par (C'J, {C\) les régions extérieures aux cercles C©» C\, par (D©), (D4)les deux demi-plans, séparés par la droite D, qui contiennent respectivement les points o, i; puis par (Cq Ci) la région commune aux deux régions (Cq), (Ci); par (CoC,Do) les régions communes aux trois régions (Co), (Cl ), (Do); ....

Si l'on cherche à vérifier Téquation différentielle (y) par une série de la forme «oH- ^iX -i- «2^^^ + • • • -^- ««î^" -h . • . , on trouve de suite, en substituant, puis égalant à o le coefficient de x"-', la relation

On en conclut que, si Ton pose

/ lY ri.H.5. ..(2/1 — 015

la somme de la série

(GXXi ) X(x) — «Q-h ûf|X -h. . .-T- ««x^-h . . .,

dont le cercle de convergence est manifestement (Co), vérifiera l'équation différentielle (y). On voit de plus que toute solution de cette équation, holomorphe dans (Co); se réduit à la fonction )v(x) multipliée par une constante.

On trouve une seconde solution de Téquation différentielle (y),

en posant

r = 4 |a(x) 4-X(x)logx;

a(x) est une fonction inconnue que Ton va déterminer tout à

ON DONNE A* OU g^j g^\ TROUVER T OU COi, 61)3. IQS

rheure; les théories de M. Fuchs sur les équations différentielles permettent de prévoir que la fonction [x(x) sera holomorphe dans (Co); quant au coefficient 4 il a été simplement introduit pour la commodité des calculs. Quoi qu'il en soit, en portant la précédente valeur dans Téquation différentielle (y) et en tenant compte de ce que X(x) est une solution de cette équation, on trouve immédiatement, pour déterminer i«.(x), la relation

(v') 4>c(x — l) |ji'(-/.) — 4(1— 2x)fJl'(>^) — F^W = — 2(>t--i)X'(x)-- X(x).

Si Ton essaye de satisfaire à cette relation par une série entière de la forme «o^^o + <^< ^i >t + . . . -i- anb„y.^ -j- . . • ^ où les an sont les coefficients déjà définis, que Ton introduit ici en vue de réductions ultérieures, on trouve, en égalant dans les deux membres les coefficients de x''~*, la relation