V- '2. > 4 in — I 1 n

la somme de la série

( CXXi) {"-W = «i^ix -+- aj^jx'-H. . .-h rtrt^rtX'»-!-. . .,

dont le cercle de convergence est évidemment (Co), vérifiera l'équation différentielle (y).

On voit donc que toute solution de l'équation différentielle (y), en particulier les fonctions X, x', pourra dans (Co) se mettre sous la forme

(GXX,; AX(x)-4-B[.i .ji(x)-h).(x)logx],

en désignant par A, B des constantes convenables.

537. Avant d'aller plus loin, nous étudierons de plus près les fonctions À(x), [i.(x) de manière à obtenir des valeurs approchées de ces fonctions, en supposant [x] <^i. ,

La formule de Wallis fournit, pour tout entier positif /i, les

inégalités ( *)

{in -:- i)tz 'iniz

On pourra donc poser

71 \2/l 2/1 -hl /

et l'on aura l'égalité

Clfl — E/i,

niz

(CXX3) X(x)-I-iy ?^--E(x)-l-il0g(l-x)-S(>c),

7C ^iBH /l 71

où e(x) est une série entière en x, à coefficients tous positifs, que Ton peut écrire sous la forme

n=. oD

£(X) =^^ E/fît'*" ',

et dont la somme est, par conséquent, moindre en valeur absolueque

xITIm-^^ ' - ) ^ |x|- (I lo<,"2):

^^ Tz \7.n 'in-\- \ J 7: ^

en se reportant à la valeur 0,693147... du logarithme naturel de à, on voit que Ton a

Posons de même

ba~ log2— £'„, 0< s;,

(') En faisant a; = - dans la formule ( I,), on trouve de suite

où l'on u posé

( 2 n -h ly ( 0. n -{- 3)- . . . (2 n -^ 9. k- ly i 0. n - 2 k ~h i) ' "" ( 2 w 4- a )> ( 2 w -f- .j )\ . . ( .< // h 2 k y

On a d'ailleurs, pour tout entier positif k, •'— • ; i, — > r.

ON DONNB k^ OU ^„ gz\ TROUVER T OU Wj, (ù^. IQ?

Tégalilé

n := te n = • n

n entraîne la suivante

\^{^) ^^^anbn^-=^Y^-^ --^tnbny.^

(CXX,) |JL(x)r--!-^- |og(i — x)-r,(x),

nr= m

OÙ T, (x) = 51 "^tw^" ^st une série entière en x dont les coefficients

>;« = ^ -4- Sa 6/»

sont tous positifs; on a d^ailleurs

/! = tO

et des inégalités

Al \ '2 Al a /i -t- 1 / TT \ a /i a /i -T- 1 /

on déduit ensuite

Ces expressions fournissent des valeurs d'autant plus approchées de )i(x), [x(x) que la quantité |x| est plus petite. On observera d'ailleurs que

log(i-x)= - ~ — ^- -...,

qui est la seule fonction dont dépendent les expressions approchées de )i(x) et de [x(x), est une fonction holomorphe de x dans (Co); le coefficient de i dans cette fonction est de signe contraire

à celui de i dans x; il est compris entre et - •

La partie réelle de )»(x) s'obtient en retranchant la partie réelle de e(x), qui est moindre en valeur absolue que -—^ de la partie

réelle de i log(ï — ^)> quantité qui dans (Co) est toujours

supérieure à i ~ ou à ^ ; cette partie réelle est donc plus

iqB calcul intégral.

grande que |; elle ne s'annule donc pas dans (Co), non plus que X(x). On trouverait sans peine que le coefficient de i dans X(x) est moindre, en valeur absolue, que ^. Le coefficient de «est moindre en valeur absolue que ^ dans 7|(x) et que -^ dans [x(x).

538. Puisque )v(x) ne s'annule pas, le rapport ^ — est, dans le

cercle (Co), développable en une série entière en x; il importe de démontrer que les coefficients de celte série sont tous positifs, qu'elle reste convergente pour x r^ i et que sa somme est alors égale à loga.

Tout d'abord, des équations différentielles que vérifient X(x), [jl(x), équations qui peuvent s'écrire

4^[(x-i)xX'(x)]-+-X(x)--.o,

4 ^ [(x - i)x jx'f X)] -+- hl(x) - — 2(X — I) X'(x) - X(x),

on tire aisément

4 ^ j(x - i)x[X'(x) |i(x) - X(x)ijl'(x)]{ - ^ [(X - 1) X«(x)] ;

puis, en intégrant entre les limites o et x, et en divisant par

x(i-x)Xï(x),

Cette égalité montre, en passant, que, si x augmente par valeurs réelles de o à i, ^-— va toujours en augmentant; en effet, on a,

dans ces conditions^

puisque le coefficient de x" dans le développement de X(x) est le carré du coefficient de x" dans le développement de -j^^^^y coeffî-

cient qui est moindre que un : la dérivée du rapport y— -^ est donc positive; ce rapport croît de o à log2, limite vers laquelle il tend

ON DONNE k^ OU g^j gz't TROUVER T OU Wj, (1)3. I99

quand x tend vers i, comme il résulte immédiatement des valeurs approchées de X(x), [Jl(x).

L'égalité (e) montre que le développement de yy — s'obtiendrait

aisément si l'on avait celui de s-:- — : cherchons d'abord celui de

X*(x). En forniant l'équation différentielle linéaire que vérifient les carrés des solutions de l'équation (y), on trouve sans peine

et, si l'on cherche à vérifier cette équation par une solution de la forme ao-h a< x -f- ajx^--- . . . , on obtient aisément la relation récurrente

qui, avec les conditions ao -— i, a< ^^ -> détermine complètement

les coefficients a,, du développement de ^'(x). Tous ces coefficients sont manifestement positifs, et l'équation récurrente montre, en raisonnant par induction, qu'ils vont en décroissant; il en résulte que la fonction

(i — x) )v*(x) — I -f- ( ai — i)x - . . . -f- (a^ — ot/i-i )x«-t-. . .

est de la forme i — ^ix — ^^r!^ — . . ., tous les coefficients p<, P2, ... étant positifs. Si l'on se reporte à la valeur approchée de X(x), on voit que, lorsque x tend vers un, (i — x)X2(x) tend vers o; il faut donc, lorsque x tend vers un par des valeurs positives, que P<x-f- p25^*H-- • • tende vers un, ce qui, puisque tous les p sont positifs, ne peut avoir lieu sans que la série pi -j- p2 -^ • • • soit convergente et ait une somme égale à un. il en résulte que pour tout point de ( Cq ) la valeur absolue de pi x -|- P2 ^^^ 4- . • • est moindre que un, et l'on peut écrire

le second membre est développable en une série à coefficients positifs; il en est de même de A -y- r — ■ et de l-r— : mais, quand

X tend vers i, ce dernier rapport tend vers loga; îi faut donc que la série qui le représente soit convergente pour x ^^ i, et ait une somme égale àlogs.

Tous les coefficients de la série qui représenter;^ — -sont évidemment rationnels.

539. Puisque l'équation différentielle (y) ne change pas quand on change x en i — x, il est clair que, dans le cercle (C<\ elle admettra les solutions

^(i ~ 5^)» 4 1^0 ~ ^) -♦- ^(* ~" '^)log('~ x).

Les deux cercles (Cq). (C<) ont une partie commune (CoC»), qui appartient tout entière au plan (Ç). Nous adopterons, pour cette région, les déterminations de logx, log(i — x) qui ont été précisées au n° 523; en particulier, si x est réel (compris entre o et i) les logarithmes seront réels. Dans cette même région les solutions qu'on vient d'indiquer doivent être des fonctions linéaires à coefficients constants des solutions X(x), 4 \^{'^) -f-^(x)logx qui conviennent à la même région, c'est-à-dire qu'on doit avoir, en désignant par A, B, A', B' des constantes,

( X(i — x)^ AX(x)-T^Bf4 îi(x)-4-X(x)logx],

( 4 |jl(i -X) ;- X(i - - X) log(i — x) — A'X(x) -4- B'[4 ia(x) -h X(x)logx].

Nous déterminerons ces conslantes en supposant x réel. En remplaçant, dans ces identités, X(x), [x(x), X(i — x), a(i - - x) par les expressions du n" 537, elles prennent la forme

/d '\i A-»-4Bloff'2, ^

(^B-^ -jlogx ^- ^|og(i — x)-^a(xj -zo,

/j, 4l0g2\, A'-^4B'l0ff2 -^TT, , o, ,

I^B-:-^-"- jlogX— ~;r -l0g(l-X)-p(x)-^0,

où a(x) et p(x) désignent des fonctions de x dont les valeurs absolues restent inférieures à des nombres fixes quand x s'approche de o ou de i , comme il est aisé de le voir en se reportant aux limites obtenues au n° 537 pour 6(x), t,(x) et en observant que xlogx tend vers o avec x et que logxlog(i — x) tend vers o quand x tend vers o ou vers i .

ON DONNE A' OU ^;, g^', TROUTKR T OU Ci)i, (1)3. 201

Il est clair alors, en faisant tendre x successivement vers o ou vers i, que les dernières égalités ne peuvent subsister sans que les coefficients de logx, log(i — x) soient nuls; on a ainsi quatre équations pour déterminer les constantes A, B, A', B', et Ton trouve

L , ^ leiogV. - u^ ^ g,^4 log2^ AB'-A'B = ..

On pourra, si l'on veut, résoudre les équations (î^) par rapport à ).(x), 4 [Jt-(5t) -i- î^(5t) logx; on obtiendra immédiatement le résultat en changeant dans ces équations mêmes x en i — x.

Ces équations sont valables tant que x reste dans la région (CoC<); dans le cercle (Co), en dehors du cercle (C<), les fonctions X(i — x), [jl(i — x) n'ont pas de sens. Si Ton adoptait dans le cercle (Co), où les fonctions X(x), (Ji.(x) ont une signification précise, comme définition des fonctions X(i — x), [x(i — x) la signification qui résulterait des équations (Ç) elles-mêmes, on ne ferait que continuer ces fonctions en dehors du cercle de convergence (C|) des séries qui les définissent (n°* 51-52).

540. Les formules précédentes nous fournissent de nouvelles expressions des fonctions X, x'. En effet, X étant une fonction holomorphe dans le cercle iCq) ne peut différer que par un facteur

constant de )v(x) ; pour x =-= o, X est égal à - > X(x) à i ; on a donc (GXX,) x(x):=-X(x;.

D'ailleurs x'(x) est égal à x(i --x)ou à -X(i — x); on a donc, dans la région (CqCi),

(CXX,) x'(x)--l[4f^(x)-4-X(x)log^].

Cette dernière formule n'est établie que pour la région (CoC<); mais elle subsiste tant que les deux membres sont holomorphes, c'est-à-dire dans toute la région du cercle (Co) qui fait partie du plan (S), ou encore dans le cercle (Co), lorsqu'on y a pratiqué la

coupure qui va du point o au point — i; log— a sa valeur principale.

541. La propriété qu'a l'équation (y) de se reproduire dans les conditions qui ont été spécifiées au n** 534 permet de même de déduire des solutions )v(x), 4 [a(x) H- X(x)logx, valables dans le cercle (Co), d'autres solutions valables dans les régions (Do), (C,), (C'„), (D,), et il sera aisé de relier deux de ces diverses solutions en les comparant entre elles dans une région où toutes deux sont valables. Il nous suffira de considérer les régions (Dq) et (DoCo) qui comprennent le point o.

La région (Dq) est caractérisée par la condition | — ^- < i ; il

résulte d'ailleurs du n® 534 que l'équation (y) admet dans cette région les solutions

La première fonction est régulière au point o; en ce point elle est égale à i, si l'on adopte pour le radical la détermination qui se réduit à i pour x rr^ o. On a donc, aux environs de Jt r^ o,

puisqu'une solution de l'équation (y), régulière au point o, ne peut différer de X(x) que par un facteur constant (n® 536). Cette égalité subsistera dans toute la région (CoDq) où les deux membres sont holomorphes.

Quant à la seconde solution, nous la remplacerons par la fonction

qui n'en diffère que d'un certain nombre impair de fois -y X ( -— )> et qui, par conséquent, vérifie aussi l'équa-

lion (y). Dans la moitié du plan (G) qui fait partie de la région (Dq), F(x) sera une fonction holomorphe de x, en adoptant pour

ON DONNE k' OU g%, g^l TROUVER T OU W,, 0)3. 2o3

log et y/i — X les valeurs (principales) spécifiées au n" 523.

Envisageons, dans la région (CqDo), modifiée parla coupure du plan (S), la solution F(x) — 4 ^(^ — X(x)logx de Téquation (y). On a

le second membre, si Ton tient compte des égalités

X(x)= L^X(-^), log -^-- -.logx-log(i-x), se réduit à

cette quantité est donc une solution de l'équation (y) : elle est régulière au point o, s'annule en ce point; elle est donc identiquement nulle dans la région (CoDo). Par suite, dans la région (CqDo), modifiée par la coupure du plan (C), on a

Les deux équations (r^) permettent d'exprimer les fonctions à( )♦ }JL ( j au moyen des fonctions X(x), [x(x), ou inversement,etde continueriez premières fonctions dans tout le cercle (Co), ou les fonctions )^(x), [x(x) dans tonte la région (D„), à l'exception des coupures. Il est aisé d*en conclnre d'autres formules

de passage, en changeant x en i — x, puis x en -; mais nous nous

bornerons à établir les formules de ce genre, pour les fonctions x(x), x'(x), qui sont notre objet essentiel.

542. Observons d'abord que, si l'on veut, par exemple, relier les

fonctions x(x), x'(x) aux fonctions X (-^ )> ^\'~zi~r ^' ^^"'

vient de rester dans une région où toutes ces fonctions sont holomorphes : les deux premières sont holomorphes quand le point x

reste dans le plan (G) ; les deux secondes, quand le point — — reste

dans ce même plan: les quatre fonctions seront donc holomorphes si Ton assujettit le point x à rester soit au-dessus, soit au-dessous

de l'axe des quantités réelles : car alors — ^— sera imaginaire

comme x; mais, si x était réel compris entre o et i, --- serait réel, négatif, donc figuré par un point situé sur une coupure de (g) . La même observation s'applique aux nombres ->- — > i — x,

; si X reste soit au-dessus, soit au-dessous de l'axe des quan-

tités réelles, les fonctions x(x), xf—^), X^-j, X^^^^Uxfi ^x),

v( — )» ^ (^) ^\~ls') resteront toutes holomorphes. 11

convient d'observer encore que le coefficient de / a le même signe dans x, et et un signe contraire à celui-là dans

543. Nous conviendrons, dans toutes les formules qui suivent et qui comportent un double signe, de prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que le point x est situé au-dessus ou au-dessous de l'axe des quantités réelles. Supposons d'abord que le point X appartienne à la région (CoDq) ; on aura alors, eu appliquant les formules (CXXo\

\X— 1/ JL \X—I/

dans le second membre de la dernière équation le logarithme a sa valeur principale; on a d'ailleurs (n" 523)

^ iG(i— X) ^ [6(x — I) '

suivant que le coefficient de i dans - — est positif ou négatif, ou, si l'on veut, suivant que le coefficient de / dans x est positif

ON DONNE Ar' OU ^,, ^j ; TROUVER T OU 0J|, 0)3. '2o5

OU négatif : on a donc, en tenant compte des relations (tj).

d'où enfin, en appliquant encore une fois les formules ( CXXa),

\ ( :--^— ) — \^i --xx(x), ^' {'ZII~) ~ V^ — x[\'(x; ± ix(x)|.

Les deux formules auxquelles nous parvenons ainsi, ne sont établies que dans la région (CoDo); mais elles sont valables tant que les divers membres restent holomorphes, c'est-à-dire tant que le point X reste soit au-dessus, soit au-dessous de Taxe des quantités réelles.

Si, dans ces formules, on change x en i - - x, et si l'on n'oublie pas que les coefficients de / dans x et dans i — x sont de signes contraires, on trouve

x'( * \ -- v^x[x'(i — y.) .,- i\{i — x)] — v^x [x(x} .: /x'( xj|. On a d'ailleurs

Vx— 1/" \ i--x/"~* \i — yj ' \x — 1/ \i--x/

Finalement, on obtient le Tableau de formules qui suit, où la signification du double signe a été précisée plus haut.

x(i — X)— x'(x), x\i— x) - x(x), '''(^"ir) ^^ (î) ^ t/x[x(x):v*x'(x)j.

544. Il est bien aisé de conclure de ces formules que le coeffi-

x'Cx) cient de i dans le rapport —r-^ est toujours compris entre — i et

H- I . Plaçons-nous, en effet, dans le cas où le coefficient de i dans x est posilif. On tire alors des formules (CXX4)

(Pailleurs le coefficient de i sera négatif dans ; mais (n** 524)

le coefficient de i est toujours de signe contraire dans x et — ; il

sera donc négatif dans —7—- et positif dans le premier membre. Il

faut donc que le coefficient de i dans - - — ■ soit compris entre — 1

et o. On verrait de même qu'il est compris entre o et i, lorsque le coefficient de i dans x est négatif. On voit encore qu'il n'est jamais nul, sauf dans le cas où x est réel, compris entre o et i (*).

545. Lorsque le point x en restant dans le plan (S) s'approche d'un point déterminé d'une coupure, aulre que le point o ou le point I , X et x' tendent vers des limites déterminées, puisque ce» sont des solutions de Téquation différentielle (y), lesquelles peuvent toujours être continuées le long d'un chemin déterminé quelconque ne passant ni par le point o ni par le point i. Ces limites apparaissent d'ailleurs immédiatement sur les formules (CXX^).

Supposons, par exemple, que le point x s'approche d'un point X, de la coupure de droite, en restant dans la partie supérieure du plan (to); on aura

( ' ) Dans le même ordre d'idées, il est aisé de démontrer le théorème suivant : Le parallélogramme dont les côtés sont respectivement o, x, x -H tx', ix' est décomposé en deux triangles acutangles par la diagonale qui joint les deux sommets x, i\' si le coefficient de / dans x est positif, par la diagonale qui joint les deux sommets o, x 4- <x% si le coefficient de i dans x est négatif; lorsque x est positif, compris entre o et i, le parallélogramme est un rectangle.

ON DONNE k^ OU ^j, ^3; TROUVER T OU COi, CO3. 207

Les fonctioDs x(-). xW - ) sont continues quand x s'approche

de X, et tendent vers des valeurs réelles et positives xf — j>

— ): -— tend vers la valeur réelle et positive -, > et l'on a

lim[x'()c)] = -!.x'(-i).

Rien n'empêche de regarder ces limites comme étant les valeurs de x(x, ), x'(xi) qui n'ont pas encore élé définies; les fonctions \(x), x'(x) sont alors définies sur le bord supérieur Ae la coupure qni va du point i à -f- oo, en suiv<int l'axe des quantités positives;

la partie réelle du rapport ' '^ est encore positive, puisque

x(— ) etx'(— ) sont positifs et la continuité montre que l'équation en T, A'''^(t) ^= X|, est encore vérifiée quand on suppose

x(xi) '

On peut, si l'on veut, modifier la définition du plan (s), de manière à faire rentrer dans ce plan le bord supérieur de la coupure de droite^ mais on n'y fera pas rentrer le bord inférieur de manière que les fonctions x'(x), x(x) soient univoques dans tout le plan (s).

On voit alors, sur les deux dernières formules (CXX4), que si X tend vers le point X| en restant dans la moitié inférieure du plan, x(x) et x'(x) tendent vers les limites

-,kK;)-'«'a)i

x(x,) - li\\Y.i),

-!^xY-- ) =x'(x).

La coupure de droite devient ainsi une ligne de discontinuité.

Les mêmes observations s'appliquent à la coupure de gauche, relative aux valeurs négatives de x; mais, pour conserver la symétrie du plan ( s) par rapport au point -» il convient de définir les

2o8 CALCUL INTÉGRAL.

fonctions x(x), x'(x), quand x s'approche du point X2 de la coupure en restant dans la partie inférieure du plan; en sorte que pour cette coupure, c'est sur le bord inférieur que les fonctions seront définies, par exemple, par les formules

«■<-'" 7fh;H-'^)--(r-i;)]-

On fera encore rentrer le bord inférieur de la coupure de gauche dans le plan (G). On voit alors que, si x tend vers le point Xj en restant dans la moitié supérieure du plan, x(x) etx'(x) tendent vers les limites

La coupure de gauche devient donc, elle aussi, ligne de discontinuité. Les propriétés établies pour l'ancien plan coupé (ç) subsistent après les modifications qu'on lui a fait subir et qui permettent de regarderies fonctions x, x' comme définies partout, sauf aux points o et i.

Les formules ((^XX») subsistent d'ailleurs pour toutes les valeurs de X, autres que o et 1 ; lorsque x est réel, il faut toutefois faire attention, pour les formules qui comportent un double signe, à prendre le signe supérieur ou inférieur suivant que x est positif

ou négatif et à regarder, quand x est négatif, y x comme égal à

— i\\j — x|, et quand x est positif, plus grand que un, y 1 — x

comme égal à — / 1 y/x - - i | .

546. Nous allons maintenant envisager les fonctions analytiques de X que l'on obtient en continuant les séries entières qui, aux environs d'un point Xo du plan ((?) non complété, coïncident avec les développements de X( x) et de x'(x j.

On voit sur l'équation différentielle (y) que Ton peut continuer ces séries de proche en proche le long d'un chemin quelconque

ON DONNE k^ OC ^,, ^3; TROUVER T OU OJi, W3. 209

ne pussant ni par le point o ni par le point i , mais traversant un nombre quelconque de fois les deux coupures.

Les fonctions ainsi continuées n'offrent plus, comme x(x) et x'(x), des discontinuités quand on traverse une des coupures, mais ce ne sont plus des fondions univoques dexetelles ne coïncident plus en général avec x(x) et x'(x).

Pour les comparer aux fonctions univoques X (x) et x'(x), considérons d'abord deux fonctions Y et / Y' de la variable x qui, aux environs d'un point Xo silué en dehors des coupures, admettent les mêmes développements en série entière, en x — Xo, que les fonctions aX-|- ^^x', yX -f- 8/x', où a, p, y, S désignent quatre constantes réelles dont le déterminant a? — py ne soit pas nul. Fixons un chemin quelconque (R) partant du point x© et ne passant ni par le point o ni par le point i ; les fonctions Y, /y', étant comme les fonctions X, ix' des solutions de l'équation diflerenlielle (y) pourront être continuées tout le long du chemin (R). Tant que ce chemin ne rencontrera aucune des deux coupures, elles ne cesseront pas de coïncider avec les fonctions ax-f-^tx', yX + S/x'; il résulte de l'étude que l'on vient de faire de la discontinuité des fonctions X, x', quand on traverse la coupure o. . . — 00, que Y et iy' coïncident respectivement, après qu'on a traversé cette coupure, avec

y =(a±2?)x-*-piV,

où il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs suivant que l'on traverse la coupure en allant du haut du plan vers le bas, ou du bas du plan vers le haut; de même, Y et i\' , après que l'on a traversé la coupure i...-1-oo, prennent respectivement les valeurs

où il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs suivant que l'on traverse la coupure de bas en haut ou de haut eu bas. Par conséquent, en un point quelconque x, du chemin (R) les fonctions Y, i\' peuvent être représentées par des expressions telles que a\ -h bi\' ^ c\-\- dix' ^ où Ton rappelle encore que X, x' sont des fonctions univoques et où les coefficients a, 6, c. rf, dont le T. ei M. — m. i4

déterminant ad — bc est égal à aS — ^y, dépendent de a, p, y, o et de la façon dont on a traversé les coupures; les différences (i — a, 6 — p, c — Y, d — 3 sont des fonctions linéaires de a, ^, Y, 0 dont les coefficients sont des entiers pairs.

547. Si l'on voulait se replacer au point de vue des n" 147, 148, 149 et envisager a, p, y, o comme les coefficients d'une

substitution

permettant de passer des nombres X, i\' aux nombres Y, t y', on pourrait dire que l'effet du passage par une coupure consiste à multiplier la substitution S par l'une ou l'autre des substitutions

T^2, V^2 du n° 148; en sorte que Ja substitution ( ,j s'obtient

en multipliant S par un produit de puissances paires, positives ou négatives, des substitutions T, S. Un tel produit est évidemment une substitution linéaire appartenant au premier des six types du Tableau (XXc). Réciproquement (*), toute substitution linéaire

( ^) ^" ( w 8pp3ï*tcnant au type i" du Tableau (XXg)

est un produit de puissances paires de substitutions T et V. En effet, conservons les notations du n° 148; on peut toujours déterminer un entier positif ou négatif [jl tel que dans l'identité

\ï 0/ Vïl <^/

ijii l'on a posé a, =:: a — '^[^P» T»^^T — ^F*-^? '^ valeur absolue (le a, soit plus petite que celle de p ; le déterminant ai S — ^y^ est égal à 1 et la parité des nombres a,, y, est la même que celle des nombres a, y. De même on peut toujours déterminer un entier positif ou négatif V tel que dans l'identité

où l'on a posé [3,1:^ p — '^va», 8, r^ o — i^vyi, la valeur absolue

(*) Voir la vingt-cinquième Leçon du Cours aulograpliié de M. Ilcrmile, d'où «ont tirés plusieurs des présents résultats.

ON DONNE /:* OU ^2, g^; TROUVER T OU COi, COj. 211

de pi soit moindre que celle de a< ; le déterminant a» 3, — ?i^i est égal à I et la parité des nombres ^i, 5| est conservée. Par répétition de ces deux opérations on parvient nécessairement à une

substitution de la forme ( , ^, ) où a'S' est égal à i et où y' est un nombre joa/r. Si a' est égal à + i le théorème est démontré puisque ( , j = Tï'; si a' est égal à — i, il suffira de multiplier la substitution ( __ ^ ) P^** I^s mômes puissances paires de T et de V pour parvenir à une substitution où a' est égal à H- i .

548. Reprenons les notations du n° S46; nous allons montrer que les fonctions Y, y' ne s'annulent jamais le long du chemin (R),

et que la partie réelle de — est du même signe que ao — Py* En

effet, posons x'= (à + [xf)x, en désignant par \ ul des nombres

réels dont le premier est (n° 524) essentiellement positif; nous

aurons

Y = ax -4- bl\' = (a — 6|JL -+- 6Xi)x,

îy' = c\ -\-di\' = (c — dyi-h d^i) x.

Puisque X n'est pas nul non plus que X, on voit que aXH- èiX', par exemple, ne peut s'annuler que si fe et a sont nuls ; s'il en était ainsi Y serait nul sur une portion finie du chemin (R) et, par suite, identiquement nul, cas que nous écartons. D'autre part, la