partie réelle du rapport — est égale à

Kad—bc) X(ao — Py)

la seconde partie de l'énoncé est donc établie.

On voit aussi, en passant, si l'on imagine une aire limitée par un contour simple contenant à son intérieur le point Xq, mais non le point o ou le point i , et si l'on définit les fonctions Y', iV comme des fonctions holomorphes qui vérifient Téquation différentielle linéaire (y) et qui, aux environs de Xq, coïncident avec ax -h p/x',

y' yx 4- 3/x', que le rapport- reste holomorphe dans l'aire considérée et que sa partie réelle y conserve le même signe.

5i9. Supposons maintenant que Ton ait

en sorte que, au point Xq, les fonctions Y, /y' coïncident avec X, /x'; les valeurs qu'elles peuvent acquérir en un point quelconque du plan, en suivant, à partir de Xq un chemin quelconque, sont de la forme ax 4- bi\'y cx-f- di\\ où a, 6, c, rfsonl les coefficients d'une substitution linéaire appartenant au type i° du Tableau (XXg); réciproquement, on peut leur faire acquérir toutes les valeurs de cette forme, en suivant un chemin convenable, comme il résulte de la composition d'une substitution de ce type au moyen des puissances paires des substitutions T et V. Aucune

de ces valeurs n'est nulle; enfin, le rapport — a toujours sa partie

réelle positive, el l'on peut, par conséquent, construire les l'onc-

(I i y' \ (^ -;- )• Dès lors, on voit que l'équation A'2(t) = x est

aussi bien vérifiée en prenant pour t le rapport — que le rapport

— ; en effet, puisque l'on a

et que la substitution ( ,1 appartient au type i° du Ta-

bleau (XXc), on a

résultat que la théorie de la continuation permettait de provoir.

550. Plaçons-nous maintenant à un autre point de vue et en continuant de désigner par X, x' les mêmes fonctions de x, univoques dans tout le plan (G) complété comme il a élé expliqué par l'adjonction du bord supérieur d'une des coupures et du bord inférieur de l'autre, envisageons l'équation

ON DONNE A* OU ^„ ^3; TROUVER T OU Wi, 0)3. 2l3

OÙ X est rinconnue et où t est un nombre donné dans lequel le coefficient de i est positif.

Si cette équation admet une solution, cette solution ne peut être que le nombre A'2(t), en vertu de Tidentité en x,

Pour savoir si A*^(t) est effectivement une solution, remplaçons x par A'^(t) dans le premier membre de l'équation proposée: ce premier membre prend une valeurdéterminécTi , puisque (XXXVlIe,?) le point A'^(t) n'est ni le point o, ni le point i, et appartient par suite au plan (s) complété. Mais la même identité en x, quand on y remplace x par A^^(t), montre que Ton a k^{'z) = k^{y\) et, par conséquent, que Ton peut passer de t à Ti par une substitution linéaire du type 1° : l'équation proposée n'est pas nécessairement vérifiée, mais, le nombre t étant donné, il existe quatre nombres entiers a, 6, c, d qu'on peut regarder comme les coefficients d'une substitution du type i*', et tels que l'on ait

CX(x) -4- ^ix'(x)

' "" a\iv.) -H bi\'{Y.)

quand on remplace x par A"^(t); ou encore, il existe un chemin fermé partant de x et y revenant, tel que l'on ait, pour x = A'^('c),

en désignant par y(x), y'(x) ce que sont devenues les fonctions x(x), x'(x) continuées le long de ce chemin.

Inversement, toute équation de la dernière forme, où l'on entend que y(x) et y'(x) peuvent être obtenus par des continuations quelconques de x(x), x'(x) ramenant x à son point de départ, admet donc la solution x = A"^(':). Elle n'en admet pas d'autres : en effet. Y, y' ne peuvent avoir que des déterminations de la forme a\ + Wx', c\ -h di\'^ où a, 6, c, d sont des entiers appartenant au type i°; mais l'égalité

n''(x) cx(x)-i-(/tx'(x)

équivaut à celle-ci

ï(x; ax(x)-+- ^tx'(x)

tx7x) — c -\-az x(x) ~" d — bz *

2l/i CALCUL INTÉGRAL.

qui ne peut admettre d'autre solution que

d'après l'observation faite au début de ce numéro*, les nombres rf, — 6, — c, a appartiennent d'ailleurs, comme les nombres a, 6, c, d^ au type i®; on a donc

L équation = t, où y et y' sont les fonctions de x précé-

demment définies, où x est l'inconnue et t un nombre donné dans lequel le coefficient de i est positif, admet donc la solution unicoque x = A'^(t) et n^ admet que cette solution. Ce résultat, signalé par M. Fuchs (*) est un point très particulier de la théorie des fonctions auxquelles M. Poincaré a donné le nom de fonctions fuchsiennes.