III. — Calcul effectif de t, coi, a

551. Lorsque la valeur absolue de x est plus petite que i, les formules (CXXo) permettent de calculer {^) x(x) et x'(x).

(•) Journal de Crelle, t. 83, Lettre à M. Hcrmile.

(') Quoique le calcul des x(x), x'(x) par les séries X(x), jx(x), lorsque l'on a |x| <i, ne soit pas avantageux, à moins que x ne soit très petit, il convient de compléter un peu ce que nous avons déjà dit à ce sujet (n*»« 536-537).

Des formules (CXX3) on déduit immédiatement les relations

X (>t) = 7 - ^ log(i-x)-a(x),

x'(x) = 2log2— ^^-^ logj:-+- ?(x), en posant

n = to /i = co

""^'^^^H (^"nr)''''» P(vc) = 2^ a,.(log2-^Jx''. /» = 1 /I = 1

Les séries que l'on obtient en remplaçant x par i dans a ( x ), p ( x ), séries dont les différents termes sont réels et positifs, sont d'ailleurs convergentes, comme il

ON DONNE A* OU gij g^\ TROUVER T OU û)|, W3. 21 5

Observons en passant que les deux premières formules (CXX4) montrent que l'on ax(M =xW-j'La valeur correspondante de

q =z e * est e""^ = o , o432 1 89 . . . ; on en déduit

(CXXI,) X' (i) = X (1) --= l 3r|(o) - 1,854075.

Les formules (CXX4) permettent également de calculer directement la valeur de q lorsque le point x est l'un des deux points

communs aux trois lignes Co, Ci, D. Pour les racines c ^ de l'équation = x, les deux dernières de ces formules fournissent

en effet la relation

iTZ\

l'TZ

résulte des inégalités démontrées au n* 537; désignons leurs sommes par a(i), P(i); ces nombres seront, d'après le second théorème d'Abel (n» 32), les limites respectives de a(x), ^(x) quand x tend vers i par valeurs positives plus petites que 1. Il est aisé de montrer que l'on a

a(i) = ^(i) = - 2 Iog2 = o, 1845

11 sufût pour cela d'égaler l'expression de x'(x) à celle que l'on obtient en remplaçant X par I — X dans l'expression de x(x), puis de supposer x réel, positif plus petit que 1, et de faire tendre x successivement vers o et i.

Ces valeurs de a (i), p (i) permettent, en raisonnant comme au n* 553, d'évaluer facilement une limite supérieure de l'erreur que l'on commet en ne conservant, pour le calcul de a(x)ou de p(x), que les premiers termes du développement. On a d'ailleurs, en remplaçant les coefficients de a(x), P(x) par leurs valeurs I I

approchées à - — ^ prè:

■xi-f.)— 0,107 3ox p(x)— 0,096 57 X

-h 0,029 MX' -1- o,o3o 8()x*

-ho,oi3 27x' -i- 0,01494^^

-Ho^oo/SSx» î- 0,008 77X*

-f- 0,004 87X* -^o,oo5 75x*

-4-o,oo3 4ox* 4- o,oo'i o6x*

-+- 0,002 5ox' -ho,oo3o2x'

2l6 CALCUL INTÉGRAL.

on en déduil q —^ zh ie * = dz / x 0,063829. La relation

que Ton peut dëduJre de chacune des deux dernières relations (CXX4), met d'ailleurs en évidence ce fait que les deux quantités

x(/'0, vG*'0

sont imaginaires conjuguées. La formule x = - 2r3(o) permet de calculer la première d'entre elles. On trouve

(GXXI5)

( ^~\ X Ve * ; = 1 ,54369 -Jzix o,4i363,

Les nombres décimaux contenus dans ce numéro sont approchés à une demi-unité du dernier ordre près.

D'une façon générale, les formules du Tableau (CXX4) permettent de ramener le calcul de x(x), x'(x) au cas où Ton a |x | < i . En effet, lés inégalités

|>t|>î, |i — xl>î,

entraînent respectivement les inégalités

en sorte que, x étant supposé différent des deux points communs aux trois lignes Co, Ci, D, un au moins des nombres x, i — x,

est moindre que i en valeur absolue; dési-

gnons-lé par Xi ; les formules (CXX2) permettront de calculer x(x4), x'(xi); en appliquant les formules (CXX4) on en déduira

oo2. Mais il vaut mieux porter l'effort sur la détermination du nombre

ON DONNE X:* OU ^,, g^; TROUVER T OU W,, 0)3. 217

Quand on aura, en effet, déterminé q, on aura X par la formule X = -3r«(o) = - (i -H 27 -h 27^-h 2^« -f- . . .)'»

où la série qui figure dans le dernier membre converge très rapidement pour peu que q soit petit. On aura ensuite

- TT- =l0gçr,

où il faut prendre dans le second membre la valeur principale du logarithme, puisque, dans le premier, le coefficient de i est compris entre — tz et tt; cette formule déterminera donc \' quand on a calculé q ei\ : tout est bien ramené au calcul de q.

Observons en passant que, connaissant q, on peut avoir, en désignant par r un nombre rationnel quelconque, à calculer q''

(XXVIIFa); en particulier, on peut avoir besoin de q^ pour le calcul des fonctions &« (w), 2f2(w)' La délerminalion de ^'^ ne comporte aucune ambiguïté; elle dépend, il est vrai, de la valeur que l'on choisit pour l'argument de q', mais c'est toujours la valeur comprise entre — tï et -{- tï qu'il faut prendre pour cet argument, en vertu du théorème démontré au n" 5i4.

553. Nous allons d'abord donner une série entière qui permet le calcul de y, quand on a |x| < i . (Schwarz, Forma /es, p. 54-66.) Dans ce cas, on a, à cause des formules (CXX2),

— it—

i6( "^Tôô""^ i.i [ X(x) J "T

On a vu d'ailleurs, au n° 538, que ~~^ est développable en une

série entière en x, dont on peut obtenir autant de termes que l'on veut; en remplaçant et ordonnant suivant les puissances de x, on aura une expression de la forme