Ayant calculé q^ X, x' puis
(Oa =
on obtiendra irji par la formule (CX2) par exemple, où la série
en q^ converge rapidement puisque q^ est plus petit en valeur
absolue que — -» ou, mieux encore, par la formule (XXXlXi);
on obtiendra ensuite 7^3 parla formule (XXVIIIi), \fk^ y/Â^, K, K', E, E' par les formules (GXIX4 e) et (Cil).
On a ainsi toutes les quantités nécessaires pour le calcul des fonctions S, (5*, sn, en, dn, J^, p, ....
559. Ce qui précède suffirait à la rigueur; toutefois, il est souvent avantageux de ne pas fixer tout d'abord, comme nous l'avons supposé, l'ordre des quantités Ci, £2, £3 par les conditions
81— Ês I â I Si— Êî I â I Ej— ej I ;
OU bien, si c'est le nombre x qui est donné directement, comme il arrive quand on se sert des fonctions de Jacobi, ce nombre peut ne pas satisfaire aux conditions |x|^|x — i|<;i; il est donc nécessaire d'expliquer avec des détails suffisants comment on peut cependant ramener les calculs à se faire avec la même facilité que dans le cas précédent.
Il convient tout d'abord de compléter les observations que nous
avons déjà faîtes sur la façon dont les points 9 -> 7 i — x,
correspondent au point x.
Convenons de dire de deux points qu'ils sont symétriques par rapport à un cercle quand ils sont situés sur un même diamètre et qu'ils divisent harmoniquement ce diamètre, ou encore, ce qui revient au même, quand ils se changent l'un dans l'autre, par l'inversion dont le centre est le centre du cercle et la puissance le carré du rayon du cercle. Cette définition comprend la définition de la symétrie par rapport à un axe; elle ne s'applique pas à la symétrie par rapport à un point, pour laquelle nous conservons la définition habituelle.
La vérité des propositions suivantes apparaît immédiatement sur la figure.
Les points x et i — x sont symétriques par rapport au point •
OM DOWNB k* OU gt, ^,; THODVRS T 011 (0,, (0,. 317
Les points-et , symétriques par rapport au poiot -. sont respectivement les symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles et à la droite (D) du point symétrique du point x par
rapport au cercle C,,. Les points et . symétriques par
rapport au point -> sont respectivement les symétriques par rapport
à l'axe des quantités réelles et à la droite (D) du symétrique du point X par rapport au cercle C,, Quand le point x décrit l'une
des trois lignes Co, C), D, les points , -, . i — x, *~'.
décrivent aussi, chacun, quelqu'une de ces trois lignes.
Il est aisé, d'après ces remarques, de dresser le Tableau suivant. Les six régions dans lesquelles peut se trouver l'un quelconque
des points x, -. -, -— — . i — x, sont énumérées dans la
colonne verticale qui porte en téie l'ailixe de ce point, et les six
points sont toujours respectivement dans les régions dont les symboles figurent dans une même ligne horizontale ; ainsi, si le point x
;;dt u<iua ict
iCglUU y\^^)
f, ic puiui •
cat un
lud lit rc^Kj
m W»oj»
(Ci)
(Co)
(Do)
(Do)
(Do)
(Do)
(Do)
(Co)
Chaque point qui n'est pas sur une ligne de séparation appartient à la fois à trois des régions (Co), (C,,), (Ci), (C,), (Do), (Di), c'est-à-dire qu'il se trouve dans l'une des six régions désignées, d'après nos conventions, par les svmboles (CoC|Do), (D,C',C.), (C',D,C;),(C',D,C'.), (CCoDÔ, (D,C;C,). liresuite du Tableau précédent que, si le point x est dans la première
région, les cinq points ^ » -j , i — x, sont respecti-
vement dans les cinq suivantes, et que, suivant que le point x est dans la deuxième, la troisième, la quatrième, la cinquième ou la
sixième, c'est le point » -> > i — x, qui est dans la
' ^ X — ixi — X 'x^
première; désignons, dans tous les cas, ce point parxo. On observera sur le Tableau (LXXX5) que x© est précisément égal à la valeur que prend l^ dans le cas dont le numéro d'ordre est celui de la région où se trouve le point x.
S60. On calculera d'abord la quantité
(CXXII
po =
qui sera, comme on l'a vu au n°557, plus petite en valeur absolue que Ys, puis la quantité
nrr 00
(CXXII3
ON DONNE A* OU ^i, ^3 > TROUVER T OC Wi, W|.
qui sera plus petite en valeur absolue que-^, puis les quantités
x(xo), x'(xo), T = — f~Y' comme on l'a expliqué au n° 552. Les
formules (CXX4) fourniront les valeurs de x(x), x'(x) au moyen de x(xo), x'(xq), et celle de T au moyen de t; on en déduit l'ex-
pression de t = ^ au moyen de T = — 7^— 7 * et celle de T au
moyen de t; ces expressions sont de la forme
rl-z
bz
d — bi
où a, 6, c, d et a', b', c', d' désignent des nombres entiers; on les trouvera, pour chacun des six cas envisagés, dans les deux dernières colonnes du Tableau suivant, où Ton doit prendre, ainsi que dans toutes les formules suivantes, les signes supérieurs ou inférieurs suivant que le coefficient de i dans x (et non dans x©) sera positif ou négatif :
(CXXII
NL'MÉROS
d'ordre de la région
