IX
(•) On arriverait au même résultat en décomposant la transformation considérée en transformations de la forme Tibi, (n" 191 ).
ON DONNE k^ OU ^,, ^3; TROCYER T OU &)|, Wj. 23l
OÙ les radicaux doivent être déterminés de façon que leur partie réelle soit positive.
Lorsque x est dans l'une des régions l, II, III, IV, V, VI, la parité des coefficients a', ft', c/, rf' de la substitution linéaire qui donne t au moyen de T nous place respectivement dans les cas i °, 2°, 3°, 6®, 5®, 4° d*i Tableau (XX«). Si Ton tient compte de cette remarque, on déduit immédiatement des formules de transformation linéaire (XLII), par un calcul semblable au précédent, les formules du Tableau (CXXII9) placé à la fin de TOuvrage, qui se rapportent aux cas où x est dans une quelconque des six régions envisagées. On a ainsi ce qui est nécessaire au calcul des fonctions d, sn, en, dn pour une valeur donnée de l'argument v.
S62. Si l'on a affaire aux fonctions p, 2^, rf, . . . , on pourra les supposer construites avec les demi-périodes a)| =
«1)3 = -, ^ ' On pourra aussi les construire avec des demi-
périodes équivalentes; en appliquant les formules (CXX4), nous allons montrer, dans chacun des six cas qui peuvent se présenter, comment on peut former au moyen de X(xo), x'(xo) de telles demipériodes û|, Û3 équivalentes à a)|, (03; à ces demi-périodes correspondront des quantités Hi, H3, de même que y||,7J3 correspondent à (i>i , (1)3 ; on pourra calculer Hi au moyen de û| et de Q par la for-
mule (XXXlXi), puis Hs parla relation H| Û3 — H3Û1 = — ; d'ail-
leurs, 7^1, 7^3 s'expriment linéairement au moyen de H|, H3 par les mêmes formules qui expriment a)|, (O3 au moyen de û|, Û3; toutes ces quantités pourront donc être regardées comme connues. Le plus souvent on déduira les fonctions (i{u \ û| ,03), (3'a(w | û| , ûs) des
fonctions 2r( — Tj par les formules de passage (XXXIlIs^e), dans lesquelles on suppose t, q^ Wi , 0)3, y|j et ç^ = — remplacés respectivement par T, Q, û|, Û3, Hj et ¥ = — ; on sait d'ailleurs que
^(a I û|, Û3)est identique à d{ii | (01,0)3), et que les trois fonctions rfa(w|ûi,Û3) sont les trois fonctions c3'i(w | a>i, (03), (3'2(m | W|, (O3), (^3 (m I to, , W3) prisesdans un ordre convenable : cetordresedétermine j>ar la parité des nombres a, 6, c, rfau moyen des formules (XXs^c).
a3a CALCUL intégral.
Les fonctions construites avec les demi-périodes û| , ûj engendrent
des quantités E|, E2, E3, y/E, — E3, . . ., de même que les fonctions construites avec les demi-périodes cj|, (03 engendrent des quantités
^o ^2j ^3> >J^\ — ^3j ••• î les quantités Ej, E2, E3 coïncident d'ailleurs dans leur ensemble avec £|, £2, £3, puisque, en tant que fonctions de u^ les deux fonctions j3(e/{û|, Û3), j3(£/| coi, 0)3) sont
identiques. Les quantités E|, E2, E3, y/Ei — Es^ ... seront, dans chaque cas particulier, exprimées sans ambiguïté au moyen des quantités dont le sens a été précisé antérieurement, et cela au moyen des Tableaux (XXo^t); Texamen de chacun de ces cas particuliers montrera que Ton a toujours
(CXXIIe) û,= -^M-, 0,= '"'''^'^^
563. Examinons chacun des six cas particuliers qui peuvent se présenter.
Cas l; X est dans la région (CoCi Dq).
Cas II ; X est dans la région (Co C'^ Dq) :|x|<^i,|x — i|>i, I X I <C I X — I |. On pose, conformément à la définition adoptée plus haut pour Xq,
X Xo
Xo = i X =
X — I Xo — I
Il résulte de là que y/i — x y/i — Xq est égal à dz i ; il sufBl de faire la figure dans ce cas et de se rappeler les conventions relatives aux radicaux (n® 523) pour voir que l'on a
Dans ce cas, les formules (CXX4) donnent donc
x(x) = /i — Xo x(xo), x'(x) = v/l— Xo [x'(xo) qi tx(xo)],
d'où
wi = — , t08=: ^[tx (xo)ibx(xo)], T = T±:i.
V El — '3 V £1 — H
Nous poserons
/l — XoX(Xo) ^ v^i — XotX'(Xo)
Qi = , > lia = . ;
ON DONNE A:* OU ^i, ^, ; TROUVER T OU Wj, Wj. 233
les relations précédentes deviennent alors
COi=a,, COs = dl Û, -i- Û3»
d'où
m = "il ï;s = =t H1-HU3;
on a aussi, si Ton veut,
ûi = W|, Û3 = =p CO1-+- uia;
on voit donc bien que 2û|, 2^3 sont des périodes de pu comme 2 a>|, 20)3.
Les coefflcients a, h, c, d de la substitution linéaire qui donne T en fonction de t sont
Par conséquent, en se reportant aux Tableaux (XX^^y), on a, en tenant compte des formules (CXIX4),
i v^Ei — Es = /ei— fil = /ei— î3 /i — ît, (GXXIIj) • /ej — Es = ip « /êj — Es = /si — Ê3 /x,
( /Ei — Es = /Si —£3,
d'où
El = ei, Es = Es, Es = £2.
La première des formules (CXXII5) permet d'écrire les expressions de ûi, Û3 sous la forme annoncée
X(Xo) ^ ïX'(Xo)
Qi = —7 > Os =
V^Ei— Ks /ei— Es
Il convient d'observer que l'on a, dans le cas actuel,
Po — W^-^ — 4/ — — P
i-f-Vi — î^o V» — x-i-i
et, par suite,
en sorle que, au point de vue de la convergence des séries 3, on ne gagne rien à faire la transformation précédente; il vaudra tout autant faire les calculs comme dans le cas 1^, où x est dans la région (CoCiDo).
Toute explication est désormais inutile : il suffira d'écrire les résultats.
Cas III. Le point x est dans la région (C'^C, Di ) :
Xo
= - y yXo V^ = I , ?0 =
x(x) = /xo [x(xo) ± ïx'(xo)], x'(x) = v/xi x'(xo), X(xo)v/xo ,^ ,^ o - ^'^'(>^o)/xo
/ê, — £3 VÊl — Es
U| = 7)1 ipT,3, Oj = T)3,
El = £j, E2=Ei, £3 = 63,
v/E| — E3 = v/ei — £3 \/x, /ej — Es = — /ei — £s,
V^Ei — Es = d= f /îi — £3 /i — X.
Crt5 IV, Le point x est dans la région (CJ^C^Do) :
|x|>i, ||-X|>I, |x|<|i — xl,
)to = ■ > X = > Po = -
I — X Xo
v/xo /i — X = I ,
x(x) = x'(xo) v^xi, x'(x) = [x(xo) zp ïV(xo)] v^xi, . xCxo)/x"o ^ txïXo)v/x^
El = £2, E2 = Es, E3 = fil,
v/ei — E3 = t /ei — £3 V^i — X, /ej — Es = — *' /ei — £3»
V^ti — E2 = ± /ei — £3 /x.
ON DONNE A* OU ^,, ^, ; TROUVER 1 OU Wi, Wj. 235
Cas V , Le point x est dans la région (CoG| D| ) :
|X|<I, |l y.|<|, |x|>ll-x|,
v-o = I — >^> po = jy »
