II. — Évaluation des intégrales de la forme

prises le long d'un chemiii quelconque, dans le cas où e^ est un nombre réel et où e^ e^ sont des nombres imaginaires conjugués.

594. Supposons maintenant que deux des racines de Y soient imaginaires. Reprenant les notations du n® 565, nous supposerons ei = A -h b/, ^3 = A — b/, 62 = — 2 A, B]> o; (0| et wj'sonl formés comme on Ta expliqué dans le même numéro, et sont des quantités conjuguées; on les calculera au moyen des Tableaux

(CXXV) ou (CXXVI). Les quantités ^7^2 — ^i , v^<^2 — ^3 sont aussi conjuguées, comme il résulte, si Ton veut, des formules (Xle). H est aisé de vérifier que les signes de la partie réelle et du coefficient de i dans y/\ ne peuvent changer que sur Taxe des quantités réelles et sur l'hyperbole (H) qui, cette fois, passe par les points e», e^. Ces signes sont indiqués sur la figure (B) du Tableau

(CXXXl), en supposant y/Y >> o pour les grandes valeurs positives de^. La figure (B) correspond au cas où g2 et 62 sont positifs; les modifications relatives aux autres cas n'échapperont pas au lecteur; si en particulier g2 était nul, Thyperbole (H) se décomposerait en deux droites passant par l'origine et inclinées de 60° et de 120° sur Taxe des quantités positives.

Dans le plan des y, du point e^ comme centre, avec un rayon

égal à la quantité positive y^^^a — ^i ^e-2 — es, décrivons un cercle que nous désignerons dans ce qui suit par (^2); il passe par les points Ci , 63 et rencontre l'axe des quantités réelles en un point m situé entre 62 et 4-00, et en un point m' situé entre 62 et — oc. Observons de suite que Ton a, en vertu des équations (XVL),(VIl9),

m — et -h y Ci — e, )/Ci — cj = p ( I ,

m = et — >Jet — e, \/et — «3 = pi — ) •

Pratiquons une coupure allant de et à e^ le long de ce cercle, en

lO CALCUL INTÉGRAL.

passant par le point m, puis le long de Taxe des quantités réelles de m à — cx>. Le bord supérieur de cette dernière coupure de — oo à m sera supposé continué par le bord intérieur de la coupure circulaire de m à ei ; le bord extérieur de la coupure circulaire va sans interruption de Ct k e^; le bord intérieur de la coupure circulaire de 63 à m est continué par le bord inférieur de la coupure rectiligne de m à — 00; le bord de chaque coupure est regardé comme faisant partie de la région du plan quUl limite. Dans le

plan coupé, y/Y est une fonction holomorphe de y.

Il existe une fonction que nous désignerons par argpy et qui jouit des propriétés suivantes : elle est holomorphe dans le plan coupé; en tout point de ce plan on a

P(argp^)^7; sa dérivée est — — en désignant pary/ Y la fonction holomorphe pré-

- Vy

cisée plus haut. Quand j^ n'est pas sur une coupure, on peut mettre argp^ sous la forme \ (coi-f- W3)/ 4- (w, — a>i) t', où / et l' sont des nombres réels vérifiant les conditions o<C^<Ci» — i <C t' <Z i ] t' est toujours de signe contraire au coefficient de i dans y. Quand y est sur la coupure circulaire, arg py peut se mettre sous la forme 4( W| -f- W3) -h (CO3 — W|)^i; tt est compris entre — ^ et -^ lorsque y est sur le bord extérieur de la coupure; t^ est compris soit entre — * et — i , soit entre ^ et 1 lorsque y est sur le bord intérieur de la coupure suivant que y est dans la moitié supérieure ou inférieure du plan; en deux points qui coïncident, mais sont sur deux bords opposés, la somme des valeurs de t^ est égale à dbi. Quand y est sur la coupure rectiligne, argp^ peut être mis sous la forme ip ((03 — toi) -f- ^ (u)| -h W3) ^2 ou sous la forme =p(co3 — W|)/2> suivant que y est compris entre m et 62 ou entrera cl — ^J on doit prendre les signes supérieurs ou inférieurs suivant que y est sur le bord supérieur ou inférieur; ^2 est réel, compris entre o et 1; en deux points qui coïncident, mais sont sur deux bords opposés, les valeurs de ^2 sont les mêmes. En se reportant au Tableau (CXXlXs.» ) on peut donc calculer dans tous les cas, sans ambiguïté, la valeur de argj:»^ connaissant la valeur de y.

ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'uN CHEMIN QUELCONQUE. I I

595. On arrive à ce résultat en étudiant Timage obtenue dans le plan des^, par la transformation y=:zpu^ du rectangle (R) dont les sommets sont .j (3 C0| — coj), j(3(0s — iOt), 0)3 — C0|,c0| — CO3, rectangle dans lequel l'équation (en u) pu — y = o admet une racine qui, en général, est unique; si toutefois cette racine est figurée par un point du périmèrre du rectangle, le point symétrique par rapport à Taxe des quantités réelles est aussi une racine. Ceci résulte aisément de ce fait, que le losange dont les sommets sont o, 20),, 2U)| -I- a (1)3, 2CO3 est un parallélogramme des périodes, et de ce que la fonction pu prend des valeurs égales en des points symétriques soit par rapport à (Oj, soit par rapport à (O3.

L*axe des quantités réelles du plan des u sépare le rectangle (R) on deux rectangles (R|), (R2) dont le premier est situé au-dessus (le l'axe; les images de ces deux rectangles étant symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles du plan des y, il suffit d'étudier l'image du premier. On substitue, à cet effet, à ce rectangle ( R|) une figure infiniment voisine ( S|) que l'on obtient en décrivant à l'intérieur de (R|\ avec des rayons infiniment petits, des points o, (1)3 — o)| et CO3 comme centres, d'une part deux quarts de cercle, de l'autre un demi-cercle, et en supprimant les petites parties de < R|) qui limitent ces quarts de cercle et ce demi-cercle. La ligure (^S|) a huit côtés, cinq reclilignes, trois circulaires. Dans cette figure et sur le contour, les fonctions pu, p'u sont holomorphes, la seconde ne s'annule pas. Supposons que le point u parte du sommet de (S|) infiniment voisin de o, situé sur l'axe des quantités réelles, puis décrive le contour de (S|) dans le sens direct. Son image y = pu^ dans le plan des y^ partira d'un point voisin de -f- 00, sur l'axe des quantités réelles et suivra d'abord cet axe jusqu'au point m. A partir du point m, l'image y= pu se mouvra sur le cercle (e^) ainsi qu'il résulte de la formule

/ P ( ^ " O — ^1 1/ P ( :;; a £ ) — ej = /7ï — <fî,

qui montre que la distance du point pu au point 62 reste constante tant que le point u est sur la perpendiculaire à l'axe des quantités réelles menée par ^(W|-i-co3); quand u décrira le côté de (S,) qui va de ^(wi-i- 0)3) à un point voisin de 0)3, le point j^ = P^j partant de w, suivra le cercle (ej) en descendant dans la région inférieure

12 CALCtL INTÉGRAL.

du plan des^, comme il résulte du principe de la conservation des angles, et s'arrêtera en un point voisin de e^. Le point u décrivant ensuite le petit demi-cercle autour de 0)3, son im»gey= pu décrira approximativement un petit cercle autour de e^ en tournant dans le sens indirect, comme il résulte du développement de p(o)3-[- u) suivant les puissances de u. Le point u décrivant le côté suivant de (Si), son image remonte le long du cercle (e^) de «3 à /w, en sorte que les images des trois côtés de (S|), qui relient ^((Oi-f-Ws) à ^(3co3 — tOi)y forment un lacet à lige circulaire. Quand u décrit le côté qui va de 5(30)3 — (0|) à un point voisin de 0)3 — (0|, son image va de m à un point voisin de 62 sur l'axe des quantités réelles. Quand u décrit le quart de cercle autour de 0)3 — (0|, son image décrit approximativement un demi-cercle infiniment petit, de centre ^2, en restant au-dessous de l'axe des quantités réelles. Le côté suivant a son image sur l'axe des quantités réelles, d'un point voisin de 62 à un point voisin de — oc. Enfîn le dernier côté, le petit quart de cercle, a pour image un demi-cercle de centre o, de rayon infiniment grand.

Il serait aisé de reconnaître que l'arc du cercle (^2) quî va de 63 à m' est l'image du segment qui va de (O3 à 7(0)3 — o)| ).

En répétant le raisonnement du n" 508, on voit maintenant que l'image de (R|) remplit le demi-plan des y, au-dessous de l'axe des quantités réelles. L'image de (Rj) reniplit donc le demi-pian au-dessus. Ainsi l'image de (R) remplit le plan tout entier, il convient, pour la continuité, de regarder les images des portions du périmètre qui vont de o à 0)3 — o)i et de o à o)| — 0)3 comme se faisant respectivement sur les bords inférieur et supérieur de la coupure rectiligne qui va de — 00 à ^2 ; les images des côtés qui vont de 0)3 — o)|à ^ (80)3 — o)^) et de cOi — o>3 à ^(3o)i — 0)3) comme se faisant sur les bords inférieur et supérieur de la coupure rectiligne qui va de 62 k m; les images des portions de côté qui vont de ^(3o)3 — o)i) à 0)3 et de ^(3o)i — 0)3) à o)|, comme se faisant sur le bord intérieur de la coupure circulaire qui va de m à e^ et de m à et ; enfin les images de la portion de côté qui va de 0)3 à o)| comme se faisant sur le bord extérieur de la coupure circulaire qui va de e^ à e^ Cette description suffit, en raisonnant comme au paragraplie précédent, à justifier la proposition annoncée; elle montre la nécessité d'introduire les coupures considérées, et donne les renseî-

ÉYALUATION DES INTÉGRALES LB LONG D*UN CHEMIN QUELCONQUE. l3

gnemenls essentiels sur les valeurs que prend la fonction argp^ sur les bords des coupures ( ' ).

o96. Les conclusions sont analogues à celles du paragraphe précédent et l'on obtient aisément les résultats suivants :

V* riy ^ tu,^ r''j^y ^ f"' Jy = ^'>« - ^i

(') Des considérations toutes pareilles s'appliquent à la détermination de l'in-

/dx -— » où X = (i — x^) (i — Ar^a:'), prise le long d'un chemin déterminé,

lorsque A'^ est réel et plus petit que i. Dans le plan des or on pratique deux coupures le long de l'axe des quantités réelles de -h i à -i- x, de — i à — oo. La fonction v^ assujettie à être égale à i pour x = o est alors définie sans ambiguïté dans tout le plan, y compris les bords supérieur et inférieur des coupures. Si Ton

considère la fonction sn (m | t) formée au moyen de la quantité t =-^7-» où K

et K' ont le sens précisé au n<* 521, il existe une fonction que nous désignerons par argsnjr qui jouit des propriétés suivantes : elle est définie pour toute valeur de X appartenant au plan coupé; en tout point de ce plan elle vériûe la relation

sn(arg sna:) — x\ sa dérivée est —r=. ; on peut la mettre sous la forme K/-f-iK7',

où t et t' sont des nombres réels compris entre — 1 et 4- i, et respectivement de mêmes signes que la partie réelle et le coefficient de i dans x. Quand x n'est pas sur une coupure, t et t' sont différents de liii. Quand x est sur la coupure de droite, argsnx est de la forme Kih/K'/, ou dbiK'-hKfp suivant que x est

entre i et ^ ou entre 7 et -i- x; on doit prendre le signe supérieur ou le signe

inférieur suivant que x est sur le bord supérieur ou sur le bord inférieur; t^ est réel compris entre o et i ; on a, en particulier,

arg sn I r= K, arg sn -r — ±: /K'-r- K ;

les valeurs de t^ pour deux points qui coïncident, mais appartiennent à deux bords différents, sont égales. Quand :r est sur la coupure de gauche, argsnx est

de la forme — K ±: iK! t^ ou ±: £ K'— Kf,, suivant que x est entre — 1 et — r ou

entre —-et —00; la signification de t^y la règle des signes restent les mêmes; on a, en particulier,

arg sn ( — I ) r= — K, arg sn / — -) = — K =b t'K'.

On parvient à ce résultat en faisant l'image, sur le plan des x^ du rectangle du pian des u dont les sommets sont les points =ii K =b iK'^ image qui se déduit par symétrie de celle du rectangle dont les sommets sont o, K, K -h iK', iK'. Il est maintenant clair que, si Ton se donne x, on pourra calculer arg sn^r sans

l4 QALCUL INTÉGRAL.

les deux dernières intégrales étant prises le long des bords intérieurs de la coupure circulaire;

où, dans la seconde intégrale, le chemin suit le bord inférieur de la coupure rectiligne;

• dy

:^-= — Wj OU 0)1 — 0)3,

suivantque ^2 ^st positif ou négatif; dans cette dernière égalité les

valeurs de \/Y se déduisent par continuation de la supposition

\/Y= \JY pour les points^ du chemin d'intégration situé en dessous de Taxe des quantités réelles. De ces formules, on déduit sans peine celles du Tableau (CXXXl ) ; toutes ces formules se lisent d'ailleurs sur la figure (B) du même Tableau.