VU

qui entraînent également la formule (SSXVlIj). Enfin, en tenant

3o CALCUL bIFrÈRIINTIliL.

compte des formules (XXXVL), on a

gl L('-t-?)(

et celte forme donnce à \Jk eL \/k' invite à considérer ^/ff, ^k' en tant que fonctions univoqiies de t.

171. Dans un Mémoire célèbre ('), M. Ilermite a désigne ces fonctions par »(■;) et <}(") en posant

(XXXVIII,) ?(■:) = ^^q^^-,

où ^2 est la racine carrée positive de 2, et

(xxxviiiî) '!'it)= ~-

Les égalités (XXXVIII,} <pK^) = l^j^ = l/^',

(xxxviifo ^^{'.) = IjI^ = /^

sont manifestes.

En même temps que ces fonctions, M. Ilermite a introduit (-) la fonction univofjuc de t

(XXXV1113) ■ii-) = V'>-'/' — >

où \/2 est la racine sixième réelle et positive de 2.

Les fonctions o{~), '!'("), x('^) ***'^*' ^'^^^ P^'^' ^^^ relations (XXXVIIIc) an-)-*- *'(■:) = t,

(XXSVIIIO ç(t)^(T) = /HT),

qui équivalent à nos formules (XXVnij„).

(') Comptes rendus, t. XLVI, p. joS.

(') Jbid., p. 7i5.

Lits FONCTIONS S'. àl

Nous joindrons à ces fondions celle que M. Dedekind a désignée (' ) par v, (t) et que nous représsulerons par h(T) à cause de l'usage que nous avons déjà fait de la lettre /j. Cette fonction est définie par la formule

(XXXVIIIb) h{-z) = y'^g,.

On voit immédiatement que les fonctions y, i}, y, h sont réelles et positives pour une valeur purement imaginaire de ■7.

Signalons encore les fonctions /(t), /, (■:),/2('r) intro(]nites{^) par M. Weber

Ces fondions et la fonction (((t) sont liées anx quantités Sm+i{o[^) et â'^(o'|T) pat les relations évidentes et très sjmé-

<^^™"'*' 3.(ol,) = K,)/.(.),

( 2.(olx) = l,(,)/î(,).

Les diverses fonctions de ■; que nous avons définies dans ce pa-

(') Journal de Crelle, t. 83.

(') Elliptische Functionen, p. 63. M. Deâelcind a employé les mêmes i lions/,/,,/, pour désigner les foncLions suivantes (Journal de Crelle, t

32 C.ll.CUL DlFCÉIlE.ilïlEL.

ragraphe jouent un rôle impot-tant dans les applicallons des fonctions elliptiques à l'Algèbre et à la théorie des nombres. Ah point de vue analytique, il importe de remarquer qu'elles n'ont été définies que pour des valeurs de t rejn-csentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles.

172. Reportons-nous aux formules (XXXIII) qui permettent de passer des fonctions riu,da.u aux fonctions ^i(c), ^o+i(i'). On obtient des identités importantes quand on développe les

deux membres suivant les puissances de t» = et que l'on égale

dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de i>. Les développements des premiers membres, où figurent les fonctions du, ^a« résultent immédiatement des formules (IX, ) et