XI

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11 aux seconds meuib

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son développement e

n série

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spec-

tivement par

jXi')-*----

Sa-H(o)H-^Srà^,(o)^

rj^"

Otoi,

isson,

!, pat ciemple, parmi

les for

mules

(XXXIII), cell,

=s-ci ;

En écrivant, d'une part, que, dans le développemeat de du, le terme en «^ manque, de l'autre, que, dans le développement de

da.u, les coefficients de m^ et de h' sont — ~' f| if' et que,

par conséquent, les coefficients de v- et de c* sont — acaïuj et

1 (S) -Jii»

!eonde de ces

égalités équivaut à trois égalités; si on lei

ira FONCTio:<s ^, suppose écrites, qu'on les ajoute membre à membre et qu tienne compte de la relalion e, + 62+ 6^= o, on aura

et, par conséqnent, à cause de la première des égalités prt dcntcs, on a aussi la relation très symétrique

(XXXIX. ) ^^^ g__^ + g^ 4- 5^j .

En éliminant r,, entre la seconde et la troisième des éga précédentes, on obtient la relation

d'ailleurs les relations

montrent de 3>iile que l'on a

et, en séparant les divers cas possibles, on trouve immédiatement, au moyen des formules (XXXVI,), les suivantes

Ss(o) 3|(o)

173. Signalons encore les rcsullats suivants, dont nous ferons isage par la suite.

Si, dans les formules

T. et M. - II.

on considère, dans les seconds membres, les termes pour lesquels n est pair, on voit que leur ensemble n'est autre chose que 33{2c| 4t)'. les termes où n est impair sont, d'aillcui-s, égaux et de signes contraires; on a donc

(XL,) ^3,(..14t)-S3(.|^) + &,(<'1^)-

On aura de même

XL,) 23î(a<.|4^}=Sa(<'|^)-â*(M^).

Quand on fait, dans ces formules, i^^^o, on obtient par division, en posant

et en tenant compte des formules (XXXVll,^^), les relations

Comme, en vertu de la reîaùon (XXXTlIo), on a

on doit avoir aussi, en remplaçant ojj par 4^3, " par4', et, par suite, \//î par 6,

3,(,li,) °ï,(.i|.«i,ii».)' ou encore, en ciiangeant u en 2(( et (-■ en ai',

a.(»(.U') , Ji(j»i»,./i...)

D'ailleurs les formules (XL,) donnent par division, en tenant compte de (XXXlIIn^iï),

3.(j»l4ti a.(»|T)-3,(»iT) yi;^7,(f,»-i/«'T^i;j.» , 3.(«I4t) s,(.1t)+3>(.1t) i/iT=T.s,„-tt'i7rri;«,„'

c finalement la relalion

rf,(2Klw,,4<u3) t/e,-e,<f^(u]o>„b>

,-e,tf,(,

tfï(îMlo>i,4<"a) {/e,— e3!5'î(ul(u„<u

^W„tu,)

dont on apercevra l'ulililé plus lard.

174-. Nous terminerons ce paragraphe par quelques remarques relatives au cas où l'on a, q étant réel,

Quand les quantités w, , -4 interviendront, nous les supposerons réelles et positives ('); enfin nous ne considérerons que des valeurs réelles de c. Les fonctions Sr sont alors des fonctions réelles d'une variable réelle.

Observons d'abord que les quantités g^) ^n Çai Ç-i sont réelles et positives (XXVIII^); on voit, en outre, que l'on a

50<'<îl, ÎJ<1<Î2.

11 en résulte, à cause des équations (XXXVI2), que les quantités Sj(o), ^^(w), ^3(0), 2r^{o) sont réelles et positives : cette propriété apparaîtrait aussi bien, pour les trois dernières, snr les développements en série (XXXVI,); on a, en onlre,

Les racines Ci-, Cn, 63 sont réelles; la première est positive, la dernière est négative ; on a

les quantités \/e,~e-j, \/e, — e^ sont réelles et positives, la quantité \/ei — Cj est négative ; tout cela a été démontré au n° 121 et résulte à nouveau des formules (XXXVl)) et (XXXVIs).

La quantité r^ est réelle : elle peut être positive ou négative, ainsi qu'il résulte de la fomiiile (XXX4) qui montre clairement

{') Le lecteur traitera sans peine le cas où (J,i et (u, sont des quantités réelles et négatives, cas auquel q est réel et vérifie aussi l'inégalité o <q <i. On passe d'ailleurs de ce cas au cas considéré par la substitution Q,= m,, £!, = — o,.

36 C.Vr.CTJL IllFFÉliENTlEL.

que l'équation en rj,

admet une racine réelle et «ne seule comprise enLre zéro et un. Les formiiles(XXX|j)inontrent qiiedes trois quantités e, + — , ej-l- — ) ^3 + — . les deux premières sont positives et la troisième négative; d'après cela, et en vertu des équations (XXXIX9), il en est de même des trois quantités — 2r^(o), — 3;{o), — S; (o) ; la quantité B^(o) est (XXXIX,) de signe contraire à -/i,.

175. Considérons maintenant les fonctions Si (c), Sik|,i(c).

Le signe de ces fonctions pour les valeurs réelles de v apparaît de bien des façons : le plus simple est de recourir aux décompositions en produits infinis (XXXIIji^s) qui montrent que 2!i(i') el Sri(c) ont respectivement les signes de sin^'i: el cosi'tc, et que les fondions 33(c), 2!.i(c), qui ne s'annulent pour aucune valeur réelle de f, sont toujours positives.

Les formules (XXXIVi.j) montrent qu'il suffit d'étudier la variation (') des fonctions 2f|(f), Sa(c), 33(1'), S,(i.'), en faisant varier c de o à 1.

En prenant les dérivées par rapport à c, on tire immédiatement de l'équation (XXXIII,)

Quand v augmente de o à -t « ^^ au, ç' augmente de o à to, et pu diminue de + a> à ei : le second membre diminue donc de — oc à — 4"^! (^1 + "^' ); 01' cette dernière quantité est négative; par conséquent, la fonction s4— , va toujours en diminuant : pour c un peu plus grand que o elle est positive et très grande, comme toute dérivée logarithmique d'une fonction réelle qui vient de passer par zéro, et ainsi qu'il résulte, d'ailleurs, de ce que ^X**) ^^^ un nombre positif el de ce que la fonction Sïi (f) est positive dans

(') HaLPiiEN, t. 1, p. 585.

LES IfO.NCTlONS S. 87

l'intervalle {o,i). D'ailleurs (XXXV^), pour v= -, la foncLioti &',((■) esl nulle.

Ainsi, quand c augmente de oà-) la fonction ^'-—Mécroît de -h a> ào et, puisque la fonction S'i{<') reste constamment positive, ii en est de même de la fonction Sj(i'); par suite, enfin, &i(i') augmente. Quand V augmente ensuite de - à i, S, (*)) diminue en reprenant symétriquement les mêmes valeurs, à caiise de l'égalité

La façon dont varie Si (f) pour des valeurs réelles de c est donc tout à fait analogue à la façon dont varie la fonction sini'Ti. A, cause de l'égalité

on voit ensuite qiieSi(i') varie comme cosi-t:.

Maintenant les égalités (XXXIlla) donnent encore, en prenant les dérivées par rapport à r,

el, en particulier,

Quand u augmente de o à ui,, p(m -H wj) augmente de e^ à é^; la quantité entre crochels, dans le second membre, augmente donc de 63 H — 'î à eî+ — ■ La première de ces quantités est négative, la seconde positive. Lors donc que c augmente de o à - » le premier membre, d'abord positif, s'annule pour une certaine valeur c = C|,, puis devient négatif. La fonction -^ augmente

quand l'augmente de o à i^o, diminue quand i' augmente de fo à -; elle est nulle pour c = o, elle sera donc positive pour c = fo ; enfin

on voitdonc que la fonclion 2r^(i') reste constamment positive et que la fonction 3j(c) augmente constamment depuis 3^(o)^ îo^s jusqu'à 3i ( - J =2ts(o) ^ îoîsî 'orsque v augmente ensuite de -à I, âi(c) diminue en reprenant symétriquement les mêmes valeurs à cause de l'cgalito

Ainsi, pour ce qui est du sens de ia variation, la fonction S.i(t^) se comporte comme ferait la fonction 1 — 2 g cos ■j.tzv , si g était plus petit que -; de même, la fonction Sr3(c) se comporte comme ferait la fonction i-{- -xq cosi-nv, siçétaitplus petit que--