IV. — Transformation linéaire des fonctions S

176. Nous avons supposé jiisc[u'ici que les quatre fonctions 3 étaient formées avec le même couple primitif ;iW| , 2(03, ou plutôt avec le même rapport t = — • Supposons maintenant que l'on remplace le couple (aoj,, 2(1)3) par le couple proprement équivalent (aSi|, aQn) tel que l'on ait

oùa,b,c^ c?sont des entiers qui vérifient la condition ad — 6c = 1 . Cela reviendra à remplacer

par ^,.,■^0 par

yGoosle

et enfin Ço, q\, q^^ q^ parles quanlilés Qo, Qi, Qa, Qg formées au moyen de q comme Ço, g',, ç^, q^ aa moyen de y. On obtiendra ainsi quatre nouvelles fonctions que nous désignerons par

3,(v[T), 3,(y|T), âs(y[T), %(y\T).

Si l'on applique les foï'mules (XXXIII, ,,) aux fonctions rf(«JQ,, iij), rf,(«|a|, us), ^^{((lû,, Û3), ■is(((lû|, iig) qui ne sont autres que les fonctions du, diu, a'nf(, rfv« formées avec les demi-périodes w,, (O3 et affectées d'indices )., [a, v dont la valeur est fixée par le Tableau (XXj), on trouve de suite

Ci) Q„o|tf|,«=eî«.c.v*S,(v[T),

et ces formules, si l'on connaissait "k, [i, v, fourniraient, par la comparaison avec les formules mêmes d'où on les a tirées, des relations entre les fondions &((•[■:), Sî(vIt), Les formules (XXXUIo^iî), appliquées de la même façon, permettent de faire un pas de plus.

177. Mais il convient tout d'abord de faire, sur ia signification des radicaux, quelques remarques analogues à celles du nM29.

Les quantités ^/e^ — Ea, \/e( — e,, yÇ^— ^i doivent être definies parles formules

où, dès que l'on a fixé la signification de t/ — -' il ne reste rien d'arbitraire. Or, si l'on remplace ei, Eî, ej par ey, e^, e^, rien n'autorise à penser que les racines quatrièmes que l'on vient de

4o CALCUL BIFFÉRENTIËL.

définir soient les mêmes que celles cjnl sont définies par les formules {XXXT3); ainsi, si l'on a E2=:eî, £3=^3, on ne peut nullement affirmer que ^/e^ — E3 soit égale à s/e^ — e^, mais seulement que ^/es — E3 est égale à ^/e, — e, multipliée par une racine quatrième de l'unité. En général, les quantités (e^ — Es)^, (e, — lîs)^, (e( — Ëa)^ sont identiques aux quantités (cj — ej)^, (ci — 63)^, (fil' — «a)^ rangées dans un certain ordre, en sorte que l'on peut affirmer que les quantités^Ea — E3, ^«i — £3 , ^/e, — eo sont respectivement identiques aux quantités \/e-i — €3, ije^ — e», y'e, — 62 rangées dans un certain ordre et multipliées chacune par une racine huitième de l'unité convenablement choisie.

De même, en conservant à Ç le même sens qu'au n" 101, il est clair que l'on a

(E, - e,)hri - E3)= (lîi - eO' = c -^^ - «OH^i ~ «.)n«. - <^o^ = (j.

et la formule (XXXI^) montre que l'on doit avoir

Ë étant une racine huitième de l'unité convenablement clioisie.

178. Quoi qu'il en soit, il est manifeste que, en adoptant ces notations, les formules (XXXIÏIg^, 2) nous donnent les suivantes

;; Î/ET^Y, \J^ am = <V-"av^ s,(v | t),

1 (g) yi;^^, ^:^?î ^^u= e'M.V'S,(v |t),

Reprenons maintenant les formules (XXXIIIs^ia) eiles-niêmes et observons que les trois dernières eolraîoenl la suivanle

oÙE, est égal à quelque racine liuitièmc de i'unilé qui peut d'ail-

LES PONCTIONS ;;. 41

leurs dépendre de a, p, y. Appliquons cette formule en prenant pour les nombres a, p, y successivement les nombres 7>, [ji, v; u., V, i ; V, X, [A et observons que \/e2 — Ea , \/ei — E3 1 v''ë7-- e^ ne peuvent dîÉférer respectivement de \/e^ — e^, \/ëv-— ëj, yei^e^i que par des facteurs égaux à quelque racine huitième de l'unité; comparons les formules ainsi obtenues aux formules{XLIa in), 6t la formule (XLI, ) à la formule (XXXIlIo); observons enfin que !a différence avi, <i)( c* — an, a, v^ se réduit manifestement, en vertu de la relation viiUj — ^13(0, = ^j à l'expression bvYr.i et nous parviendrons au théorème suivant :

Quels que soient les entiers ci, Z>, c, d vérifiant la condition ad— bc= I, on aura, en. désignant par s, e', s", t'" des racines huitièmes de l'unité dont les valeurs dépendent de «, à, c, d^ les formules que voici

(3) ïV" + *^«*''™'V'(''l^) = ^'(^|T)> ( (4) ."V^^~^r6^e''""''^v+i(<'|-)=Si(vlT),

OÙ les nombres X, |x, v sont donnés en fonction de a, b, c, d par le Tableau (XXa).

179. II reste à déterminer, dans chaque cas particulier, les racines huitièmes de l'unité s, s', e", c'". Nous observerons tout d'abord que ce n'est pas d'une racine huitième de l'unité qu'il s'agit vraiment, mais seulement du signe d'une racine carrée.

En effet, pour chacun des six cas du n" 128, nous avons déterminé, sans ambiguïté, dans le Tableau (XX,), les valeurs des radicaux \/e2—^i <ijs.{ — Es, ^E) — Es, Dès lors les racines quatrièmes ^/ej — Ej , ^Ë| — E3 , |/b, — Eo ne peuvent avoir que deux valeurs égales et de signes contraires, et c'est entre ces deux valeurs qu'il s'agit de choisir. Nous allons d'ailleurs montrer que quand le choix a été fait pour l'un des radicaux, il s'impose pour les autres : en d'autres termes, on peut exprimer, sans ambiguïté, trois des quatre racines e, s', s", î'" à l'aide de la quatrième. Remplaçons, .par exemple, dans l'égalité (XLII)), i

CALCUL DlFFÉnENTlEL.

vement par vH — , v + -t, vH ] — Tet, pat- conséquent,

i'pari'+i(a-h6T:), v -\-'-(c -h d-z), c + ^(« + c) + ^(^ + c/)t. Eq faisant usage des formules (XXXIV), en réduisant et en comparant les résultats obtenus aux trois égalités (XLIIa.^), on obtient aisément, dans les sis cas du Tableau (XX^), pour les rapports ^i -) —1 les égalités

où m', in', m'" sont trois nombres entiers dont la valeur est donni par le Tableau suivant ;

— [ b-hd -i b-+-d -~! -

(l s'agit donc finalement de déterminer seulement s, dont la valeur, comme nous l'avons fait observer plus haut, ne dépend que du signe d'une racine carrée. La détermination de ce signe en fonction explicite des nombres a, b, c, d est un des problèmes difficiles de la théorie qui nous occupe : il a été résolu pour la première fois par M. Hermite ('). Avant de donner la solution de ce problème, nous commencerons par indiqiier un moyen qui per-

( ' ) Sur quelques formules relali«es à la transfo tiques {Journal de Lioueille, a' série, t. III, p. 36;

mettra de déterminer effectivement la valeur de s, loiilcs les lois que les nombres a, 6, c, d sont donnés.

180. Nous effectuerons d'abord cette détermination pour les denx substitutions propres

qui, par répétition et combinaison, engendrent toutes les £ Pour la première de ces deux substitutions, on a

00= <Ï0, Ql= tju <(î= 1/3, 03= îs

et l'on est manifestement dans le cas a" du Tableaii (XXc),

Il serait donc aisé, dans ce cas particulier, d'arriver au résultat en se servant des formules de transformation pour les fonctions rf et des formules de passage des fonctions rf aux fonctions St : en effet, les résultats précédents et les formules (XLIj, XXXI3) fournissent sans peine les relations

qui permettent d'achever les calculs.

Mais il est encore plus simple de recourir aux formules (XXXII|,) qui définissent les fonctious 2l. On voit immédiatement, sur ces formules, que, par le changement de ^ en — g, les fonctions S,(c) et 2r.,((') s'échangent, tandis que les fonctions

44 CALCUL BIFFÉBEHTIEL.

q *Si(c) Cl 9 ''7s^{ç') restent invariables, cl l'on parvienl a

( (0 Si(!.|^ + ,) = v'73,(p|t),