XLIII

On voit que, dans le cas considci prenne \/c( + i-: =: \/i :=i, on a

upposaiît c[iifi Co

lulut est d'ailleurs confor

LiTaWeau(XL[I„).

181. Pour la seconde des denx substitutions considérées m a « ^ o, fo = T c^ — ^ d ^(1.

et l'on est manifestement dans le cas 5" du Tableau (XX^), oti'k^^'i, a=:-j, v^i. Les formules (XL1I|,) donnent donc

(xm.),

el l'on a, d'après le Table

Portons notre attention sur la troisième des formules précé-

LES FOKCTIONS &. f\.5

deiiLcs où figurenl des S de même indice et que Von pciU écrire

Le second membre de cette égalité apparait comme uoe fooction univoque de t^ et de t; c ne figure pas dans le premier membre. On pourrait craindre que la détermination du premier membre ne dépendit de la valeur de v, en sorte que le second membre fût toujours égal à l'une des déterminations du premier, mais tantôt à l'une, tantôt à l'autre, suivant les valeurs de i'. On peut bien prévoir qu'il n'en est pas ainsi, puisque, t étant donné et \/i étant choisi arbitrairement, e" doit être entièrement déterminé; mais il est bien aisé de le reconnaître autrement. On vérifie de suite, en e£fet, que les zéros de Sij ( - ^ - 1 coïncident avec les zéros de 3a(c ] t), et, comme ces zéros sont tous simples, il est clair, d'après sa forme, qiie le secondmembre ne peut être qu'nne fonction continue de i'; il ne peut donc passer d'une valeur constante à une autre valeur constante; il ne peut être égal qu'à une seule et même constante, et l'on a, en particulier,

"^']/^ Ssioh) '

ce qui tÏNC bien le sens de s" quand t est donné el que la détermination de \/t est ûxée.

Le premier membre ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs déterminées; le second membre apparaît comme une fonction de X sur laquelle nous allons pouvoir répéter à peu près le raisonnement précédent. Fixons tout d'abord le sens de \/t:. La partie imaginaire de t est positive; on peut donc poser

supposant que les nombres réels p et 9 vérifient les conditions o<p, c.<0<7:.

yGoosle

46 CALCUL BIFFÉRF.NTIKL.

Nous adopterons pour ^t la délerminatiou

en supposant \jp posilif ; le point \/t est alors situe dans l'angle formé par l'axe des quantités réelles positives et l'axe des quantités purement imaginaires à coefficient positif; il se déplace d'une façon continue dans cet angle quand le point t se déplace d'une façon continue au-dessus de l'axe des quantités réelles. Cette détermination de \/t étant adoptée, ta quantité

est une lonction utiivoqiie et continue de ■:; c'est donc une seule et même constante.

Si nous prenons, par exemple, t ^ (', p =: i , 9 := - 1 nous aurons

Finalement les formules de transformation sont ici

(6) &,(.^|1)= !^^^S,(.|T), ' V-l ^J yji

On observera que, dans ces formules, la partie réelle de ^ est

LES FONCTIONS î

positive. On a, en effet,

et cosj y 1 est un nombre positif, puisque Q esl compris entre

182. Ces formules se rapproeheiit naturellement des formules (XXXlïo,2). En changeant, par esemple dans la première de ces formules, t en et c en - 1 il vient

d'où, en comparant à ia formule (XLllI^),

En changeant, sous le signe ^. n en — n, on obtient donc la première des formules du Tableau suivant, dont les autres se déduisent de la même façon ;

— esl l'inverse de -4 et doit donc avoir sa partie réelle positive. 183. Pour c = 0, les formules (XLlIIi^s) nous donnent les re-