XLIV

yGoosle

/ (9) 3;(oi,H-o.v'''3'i(»|ï)> (lo) s,(oi^ + .)=i/.'a,(oii), (,,) s.(o|,+o=a.(oh),

j (13) s;(oi-j) = -v/î;/;a;(o|'), \ -y i/i

ISi. A ces relaûons se joignent imracdiaLcmciiL celles qui concernent les traiisfor m allons linéaires correspondantes des fonclionsh(,), ^(t), 4{t), y.(t).

Lorsqu'on remplace t par t -t- i , q est remplacé par — q^ q^ et qi restent inaltérés, tandis que ^2 et (/a s'échangent; ou a donc, sur la délînition même des fonctions H{t), '^(t), '^(t), ■/{■:),

(0 )i(x-n)=y;ii(x),

ISS. Lorsqu'on remplace T par — -, on déduit facilement la relation qui concerne 1i(t) de la relation (XLIII,^) en faisant rsage de l'égalité &', (o)= 2Trh"(T). On a ainsi

ii(-:;) = c/;i.(x),

on a

;iH

icnt donc fina-

el '

on.

bord

(XXXVIII,

LKS FONCTIONS 3. 49

OÙ C esl une racine de l'unité. On a déjà fait observer (n" 181) qae \ji est une fonction univoque de t; en répétant les raisonnements de ce numéro, on voit immédiatement que C ne dépend pas de T', d'ailleurs, poui lement (XLV,)

Quant aux fonctions

où le signe ne dépend pas de ■:. Mais si l'on suppose - purement imaginaire, les fonctions w et i sont réelles et positives ; on a donc dans tous les cas

(XLVO ?(-^)=vC=).

et, ce qui est la même chose,

{XLVO ^(-^)=..(T),

Enfin la relation o(-)i(T) ^ '/'(i^) montre que l'on a

d'où

en désignant par C une racine cubique de l'unité qui est la même, quel que soit t. En observant que pour une valeur purement imaginaire de t la fonction y(T) a une valeur réelle et positive, comme il résulte de sa définition, on volt que C esl égal à i; on a donc

(XLVO 7,(--^)=Z(0-

yGoosle

50 CALCUL BIFFÉRBNTIEL.

186. Les formules qui précèdent nous permettent, par répétition et combinaison (n" l-iQ), d'obtenir, cbaquc fois que a, b, c, d ont des valeurs numériques données, les formules de transformation linéaire pour toutes les fonctions considérées. Le problème de la transformation linéaire des fonctions Set des fonctions fi"^), ({/(t), x('^)' ^('^)i ps"t donc être considéré comme résolu.

Parmi les substitutions linéaires dont on fait souvent usage, nous citerons les suivantes, où m et « sont des entiers quelconques,