o|t), S|(o1t), &5(oh

ne change donc pas lorsqu'on remplace t; soit par t + t , soit par — ^ -; il ne change donc pas lorsqu'on effectue sur tt une transformation linéaire quelconque.

Parmi ces quotients, les phis simples sont ceux que l'on peut former à l'aide des trois fonctions symétriques élémentaires

S»(oiT) + S»(o|T) + 3|(ol.),

&|(ol^)â|(oi.) + ^UolT)SUM^)-^2r!(''l^)Sri(o|T),

3'?(olT)3S(olT)at(o|T).

Considérons en particulier le quotient

il s'exprime simplement en fonction de /f^. En tenant compte de la définition (XXXVII, i) de v/^, v^ et de la relation k^-\-k'^=i, on trouve immédialemenl pour sa valeur

S(i — As+A^)3 {'i-^-k'--h/c">y

On désigne habituellement par J('7) et l'on nomme invariant absolu des fonctions doublement périodiques la fonction de t,

nous venons de voir qu'elle ne varie pas lorsque l'on effectue sur -: une substitution linéaire quelconque {ad — 6c ^i), et que

l'on a

S3(o1t)S|(o|t)SUo|t) ^ '■

De plus, comme la relation (XXXVIc)

SU''h)-SrUo|T) + &i(o|-.) cnlraîne la snivanle

&i(0lT)â|(0|v) + &|(olT}&U0h)+SUol^)»i(''l^)

= l[^§('•h) + 2^§(olT)^-S|(o|•:)]^

on voit, en appliquant le théorème fondamental sur les fonctions symétriques, que tout quotient de deux fonctions symétriques quelconques, de même deg;ré, des trois quantités

:ï|(o|t), 3!(o].), ^lio].),

est une fonction rationnelle de J(':).

189. Il est facile d'exprimer J(t) en fonction des invariants g^ et ^3- Comme on a

il vicnl immcdiatement, en tenant compte des relations

la formule

(XXXVIIei;,) J(-:)= 7^-,^^^^^— jr ■

Dans les notations de M. Weierstrass, on oovi quotient

■il si

yGoosle

invarlanl absolu. Entre J(-) et cet ;nt les relations très simples

'g' Si 27^1

V. — Généralités sur les transformations linéaires- Transformation linéaire des fonctions <f{T), il'('^)^ ï.i'^)-

190. Pour établir les formules de transformation linéaire générale pour les trois fonctions ^(t), '\i{'^), xi'^) ^^ ^- Hermile, ce qui, d'après le Tableau du n"187, revient à la détermination d'nu signe + 011 — qui peut dépendre des quatre entiers a, b, c, d, il nous faut d'abord commencer par étudier de plus près ce mode de transformation.

Nous désignerons sous le nom de transformation linéaire l'opération qui consiste à remplacer t par j-, a, b, C, d étant

quatre entiers qui vérifient la relation ad — bc = i ; elle se représentera par le symbole ( ■- - . j ■

Si i î- ]i ( -; — rr ] sont deux symboles de transformation

linéaire, le symbole

représentera l'opéra

a qui consiste à remplacer t pai

cette opération est manifestement ooe transformation linéaire. Elle sera dite composée avec les transformations

De même, si [ -^ — ri-l esl un troisième svmbole de Lransfoi'malion linéaire, le symbole

j c + dx c'-v- d'x c"+ d"x \

représentera l'opcralion qui consiste à remplacer t par

ï'+&fi'+ («(^'-i-èii')-

et l'on ^Foit sans peine que celte opération est encore une transformation linéaire. Elle sera dite composée avec les transforma-

/c + rfT\ /c'+d'x\ /c°^-Èft^

L'opération qui consiste à remplacer -z par est iden-

tique à l'opération qui consiste à remplacer respectivement w, , w^ par «Uj H- èdJs, cdi, -f- dui^ : c'est l'opération que nous avons désignée au n° 146 sous le nom de substitulion, et que nous avons représentée par le symbole f ,1; en sorte que, si l'on conserve les notations des n" 146-147, on voit que l'opération

/ c-^dx c'-i-£t c"+d'x \ \a^b-.' a'-^ù'x' a"-\-b"x}

revient à ia substitution (')

Il est clair que dans un symbole de transformation

/ c-hdx c'-^d'x c'-^a'x \

\a-^hx' a'-^b-x' a'+b"-.' '")'

on peut grouper ensemble deux ou plusieurs termes consécutifs, de même que dans un produit symbolique de substitutions on peut remplacer plusieurs facteurs symboliques par leur produit effectué .

(') Voir, en particulier, lii note finale du b° U6, t. I, p. 2^1.

56 CALCUL mPFÉREBTlEL.

L'opéraûon qui consiste à remplacer -: par i est la lion identique.

La transformation (■■ , ,, - ' ] est la iransformalio ( ■ ■ -\ ~ ) ; le symbole de transformation

représente aussi la transformation identique.

191 . Le tliéorème établi aux n°^ 148-lëO peut maintenant s'énoncer de la façon suivante : Toute transformation linéaire peut s'obtenir par la composition de transformations de la forme

(t±i), ( V D'ailleurs, la répétition de n transformations de la

forme (t ± i ) équivaut à une transformation de la forme (^ dz « ) ; la composition de deux transformations de cette dernière forme reproduit une transformation de même forme; enfin, la composition de deux transformations ( — -1 reproduit la transformation identique, qui n'a pas d'influence. Rien n'cmpêclie donc d'énoncer ce théorème de la façon suivante :

Toute transformation linéaire peut être représentée par un. symbole de la forme

H(, n-i, Hj, ... étant des nombres entiers positifs ou négatifs.

Le premier et le dernier des éléments de ce symbole peuvent d'ailleurs être de l'une ou de l'autre des deux formes -z -\- n, — -■

Par exemple, la transformation ( -^ y \ peut se représenter pai

le symbole

LIÎS l'OSCTlONS S. 57

192. Nous dirons qu'un ensemble de transformations linéaires, en nombre fini, constitue un groupe si la transformation identique fait partie de cet ensemble et si toute transformation obtenue en composant deux transformations de l'ensemble appartient aussi à cet ensemble. D'après cela, l'ensemble de toutes les transformations linéaires constitue un groupe. L'ensemble de toiiles les transformations linéaires obtenues par répétition et combinaison des deus transformations (t + 2), ( 1 constitue aussi un

groupe. Si dans un groupe de transformations linéaires on peut en isoler un nombre fini ou infini qui, prises dans leur ensemble, consliluenl un groupe, ce groupe partiel sera dit un sous-groupe, contenu dans le groiipe total. Ainsi, le second des deux groupes précédents est un sous-groupe contenu dans le premier.

Nous appellerons fonction modulaire (') une fonction univoque de t qui reste invariable pour toutes les transformations linéaires d'un groupe. Telle est, en particulier, la fonction J('c), qui reste invariable pour toutes les transformations linéaires.

Si une fonction univoque de t reste invariable pour quelques transformations linéaires, l'ensemble des transformations qui laissent cette fonction invariable constitue évidemment un groupe; en effet, la transformation identique fait partie de cet ensemble, puisque la fonction est univoque, et la transformation, composée de deux transformations linéaires de l'ensemble, laissant la fonction invariable, comme les deux transformations composantes, appartiendra de même à l'ensemble. On dit du groupe ainsi formé que la fonction considérée lui appartient.

Une fonction univoque de x qui, lorsqu'on fait subir à -c une transformation linéaire quelconque, ne peut prendre qu'un nombre limilé de valeurs, est manifestement une fonction modulaire ; elle Appartient au groupe des transformations linéaires qui laissent cette fonction invariable; telles sont les fonctions k{i), k'{'.i, ç(t), '{'(t), ^(t) précédemment définies, et qui sont, comme on l'a vu plus haut (XXXVIIs), (XXXVÏIIs,,,,), liées algébriquement à la fonction 3('c),

L'étude des fonctions modulaires, qu'il convient de faire re-

58 CAICIÎL BIFEÉRENTIEL,

monter à M. Hermite, a été l'objet de développements considérables, dans lesquels nous ne saurions entrer ici ('). En s'affranchlssant de la reslriclion, qui consiste en ce que les nombres a, b, c, d sont rationnels, on entre dans le domaine des recliercbes qui ont illustré le nom. de M. Poincaré, recherches que les travaux de MM, Schwarz, Fuchs, Klein avaient d'ailleiirs préparées.

193. L'un des problèmes qui se posent le plus naturellement est celui-ci ; étant donnée une fonction modulaire, déterminer le groupe auquel elle appartient. Nous allons l'aborder pour les trois fonctions f (t), '\{y)., xC"*)-

Considérons d'abord les trois fonctions

On reconnaît tout de suite, en vertu des relations algébriques qui lient les fonctions (f, A, y^, qu'elles ne peuvent être égales que pour des valeurs particulières de x, faisant acquérir aux fonctions tç, '\^ y^ certaines valeurs déterminées : comme il est évident, sur leur définition, que ces fonctions ne sont pas des constantes, on volt que les fonctions A, B, sont, en général, distinctes. Or l'effet des transformations (t± i), f — '-\ est de les ranger respectivement dans les ordres

Toute transformation linéaire, étant composée avec celles-là, ne pourra donc avoir d'autre effet que de reproduire ces trois fonctions, rangées dans un certain ordre, et clmcune d'elles ne peut prendre que trois valeurs quand on effecUie sur 7 une transformation linéaire quelconque.

C) Voir, en parlicalier, les nombreus Mémoires de M. Klein dans les Mathematische Annalen, et son Livre Zur Théorie der Modulfunctioiien, ainsi que !e Mémoire de M. Kiepert dans le Journal de Crelle, l. 87. M. Hurwitz [Malliematische Annalen, t. XVIII, p. 528) a montré comment on peut en.'isager les

Cela s'accorde avec ce fait que l'on a

L'équation du troisième degré en h,

que vérifie la fonction yj^'^i'), montre bien, en eflet, que cette fonction ne peut prendre que trois valeurs pour les transformalions linéaires qui laissent J(t) invariable, et les trois racines de cette équation sont précisément A, B, C.

194. Les formules (XLV) montrent clairement que les transformations (tib 2), ( — -\ laissent la fonction A invariable. Réciproquement, toute transformation linéaire qui laisse A invariable peut être obtenue de cette façon, de sorte que la fonction A appartient au groupe formé en composant les transformations

de toutes les manières possibles.

Supposons, en effet, le sjmbole de transformation écrit sous la forme

négligeons au commencement, s'il y en a, les termes de la forme ■v-i-f.n, — -! qui laissent A invariable, de sorte que le premier terme du symbole de transformation sera de la forme -: -H n où » est impair; si n n'est pas égal à i, on le décomposera en deux, T -1- « — ï, 1 + 1, dont On fera rentrer le premier parmi ceux que l'on néglige et qui laissent A invariable. Les deux premières transformations, (t + 1), f — - j, changent successivement A en C, puis C en B ; vient ensuite un terme de la forme t + /i. Que n soit pair ou impair, la transformation (-î-l-n.) laisse B invariable; puis vient un terme de la forme qui change B en C; puis un

CALCUL DIFFERENTIEL.

terme de !a forme t + n'. Que n! soit pair ou impair, noas décomposerons la iraiisformation (t + /j') en deux, (^ — \),(z-\-n' -\- i); ta transformation (t — i) change C en A, et nous prendrons la transformation (t -i- /î'-4- i) comme premier terme d'une nouvelle suite dont nous traiterons les termes comme ceux dont nous venons de parier. En répétant ainsi le nombre voulu de fois le même raisonnement, oo arrive finalement à la conclusion suivante :

Si une transformation linéaire laisse A invariable, son symbole sera formé d'une suite de groupes de termes tels que

groupes de termes qui pourront être précédés, suivis on séparé les uns des autres par des termes tels que t + 2 ft, — -j on pei dire encore que la transformation sera composée de transform; lions ayant pour symboles

ovi n est u

nticr pai

npair, positif ou négatif.

Or la transformation correspondant au dernier symbole r à remplacer t par

on reconnaît d'ailleurs immédiatement, en adoptant cette notation, que l'on a

on aura donc, en supposant n positif,

LES FONCTIONS S. 6l

le symbole du second membre comprenant /( termes de la

forme et n termes de la forme t ^ 2, Comme on peut écrire

la relation précédente entre t,, et ~,i^\ ,

et, par suite, en supposant n négatif,

le symbole du second membre comprenant ;( termes de la forme x -|- 2 et « termes de la forme — ~ •

On voit, en résumé, que les transformations qui laissent '^*^(-c) invariable s'obtiennent en composant les transformations de la forme (t ± 2), f ^ -)' ^^ pourront être représentées par des symboles de la forme

yti, «2, ... étant des nombres entiers positifs ou négatifs; d'ailleurs, le symbole peut être limité à droite et à gauche par des termes de la forme ^ - ou t -h 211.

193. Les transformations linéaires qui laissent la fonction y(") invariable appartiennent certainement à ce type , et, en vertu des

il est clair que l'effet sur la fonction y (t) de la transformation précédente est de la reproduire multipliée par une puissance de i

fia CALCUL DIFFÉliESTIEL.

dont l'exposanl est le sisiÈme de la somme

. .,H-)i,-i-nj-i-H] +

Si donc on veut que la transformation laisse %{') invariable, il faut et il suffit que cette somme soit un multiple de 24-