Puisque l'on a
il est clair que les transformations linéaires qui laisseront invariables f^{':) ou '{'^(t;), laissant aussi X^''{') invariable, auront loujours des symboles de la forme
jnais comme les transformations de la forme (■:+ 2«) n'altèrent ni (D*(':) ni '{'^(t), et qne les transformations de la forme (— -) échangent ces deux fonctions, on voit que si la transformation ne cbangc pas tp*(T) ou ([('("i), son symbole devra contenir le terme — - un nombre pair de fois. Il suit de là que toutes les transformations cberchées résultent de la composition de transformations ayant des symboles de la forme
On reconnaît sans peine, en répétant le raisonnement, du n" 194, que la dernière transformation s'obtient en répétant n fois l'une ou l'autre des deux transformations inverses
suivant que n est positif ou négatif.
Les transformations qui n'altèrent pas les fonctions ^^(t), Ji*(x) pourront donc être représentées par des symboles oi!i figureront, n'importe dans quel ordre, des termes de la forme
197. Les deux dernières transformations n'altèrent pas la fonction ç(t), tandis que l'effet de la piemieie est de reproduire cette fonction multipliée par s/i" Si donc on ^eut avoir une transformation linéaire qui n'altère pas fp(i:), il faudra la constituer de la même manière, avec cette conditionj que la somme des nombres n qui figurent dans les termes de la forme •z-i-'in soit divisible par 8. On reconnaît, an contraire, que les sjmboles des transformations qui laissent '{'(t) invariable peuvent contenir des termes de la forme -z + in en nombre arbitraire; mais que le nombre
des termes de la forme -i diminué du nombre des termes de
la forme -, doit être divisible par 8.
198, Nous nous proposons maintenant d'établir les formules qui expriment au moyen de '^{y), "î'('î), x('^) ^^^ fonctions !p{T), i]((t), x(''^)i ^" désignant par
une transformation linéaire quelconque. Ces formules ont été données par M. Hermite ('). Tout ce qu'il y a d'essentiel dans l'analyse qui suit est dû à M. Schtafli ('■').
Les résultats sont différents, suivant que l'on se trouve dans l'un ou l'autre des six cas du Tableau (XX^). Supposons d'abord que l'on soit dans le cas i°, en sorte que a, d soient impairs, c et frétant pairs. Celle transformation conservera [p*('u), '['^('î), comme il résulte du Tableau du n" 187 ; elle aura donc un symbole de la ' forme
les nombres «n; «i ) ■ ■ ■ étant pairs, et le nombre des éléments de
(') Comptes rendus, t. XLVl, p. 5o8 et p. 71^,
On remarquera que les cas a" et 5° correspondent respectivement aux cas V et II de M. Hermite dans tous nos Tableaux de formules. II y a correspondance complète entre le numérotage des six cas dans les Formeln und Lehrsàtze de M. Schwarz et le iiûtre.
(») Journal de Crelle, t, LXXII, p. 3Go.
la forme — ~ élatit pair. Si ce symbole commence ou finit par un terme de la forme — ^> on placera au commencement ou à la fin un lerme de la forme - + o, de manière à obtenir, dans tous les cas, un symbole de la forme
où tons les nombres an, «i , • . - , a^n. sont pairs, le premier et le dernier pouvant seuls être nuls. En groupant ensemble les transformations partielles telles que
on peut encore donner au symbole la forme
Les transformations de la forme (t + a) changent <f{~) en i''o(-c), laissent ^{x) invariable et changeât '/('^) ^" ^^Xi''-)' les transformations (— :^— ;) laissent o(t) invariable, changent
'\>{x)eni''f^{T)elxi-)cnr'xi-^) ■ si donc ou pose on aura
Nous sommes ainsi amenés à chercher des expressions en fonction de «, b, c, d, de nombres congrus, suivant le module i6, à Aî„, à Aa,!., et, suivant le module 4S, à As„-i- Af„,.
