La première forme du symbole de transformation montre
LI'.S FONCTIONS S que Ton.
Désignons par — la réduite de rane m + i de la fraction continue
en sorte que l'on ait
-imPm-,—p,„~i, qm =
qmPm-i—pm1m-t
pression de
— '—j-'z' ^'^^^^ forme de f
raction contimii
l'on a
qia+-^qi„-i
et que, parconséquenl, au facteur — i près, les nombres ^2„, i^^ii-i ; jfîni Pî/i-i sont respectivement égaux aux nombres «, l>, c, d. Comme on ne change pas la transformation en changeant à la fois les signes de ces quatre nombres, et que, d'autre part, dans les formules finales, figureront seulement des fonctions paires de q-^n, ^îa-ii Pi'i-i Pin-\i rieti n'empêche de supposer
qin-- «, qin-i--l>,
11 suffit donc d'exprimer A^,,, A^,,., par des nombres formés à l'aide des entiers p-.,„ p-,i-\, (Jun (/hu-m à des multiples de i6
66 CALCUL UIBFÈRKNTIEL,
près, pour avoir, dans le cas où nous nous sommes placés, les formules de transformation linéaire des fonctions o et Jj,
200. Supposons les quantités pr, cjr exprimées expliciLemenl en fonction de «o, a, , a^, «3, ... : ce seront des polynômes à coefficients + 1 et ^ — ^ 1 , où. l'on pourra grouper ensemble les termes de même degré. D'ailleurs, dans chacime de ces expressions, on n'aura soit que des termes de degré pair, soit que des termes de degré impair, en sorte que, si l'on désigne par Aa^, ^m-i ! Eïh, B2„^, ; Can, C2„, ; Dî„, D^^., ; Ej„, Ea,,., ; . . . des polynômes en «0, tïi, «2, ... dont les degrés respectifs sont égaux au rang des lettres A, B, C, D, ... dans l'alphabet, on peut écrire, comme on le voit très aisément,
l)"/>în
As„ —
Yp..-
i-Bj
i -+- Dj„
i — Ba
-l-Di„
— Ai,,
-i- Ci„i
A la vérité, le sens des symboles Aa„, Aa,i, a déjà été fixé; iiiala ils gardent leur signification, comme on va le vérifier immédiatement. En substituant, en effet, les valeurs que l'on vient d'écrire dans les égalités
Pi,i ^Plit-l^ia —P-M-^,
„irtj„ - ?,„
Pî,i-l = Pl/t-S «!«-! —I>V>-i-
,c-ia%:i.-i— qm
on
trouve de suite
Aî„= Aj„-2 4-na,j,
A2„-, = ki.
B2,j=A2„i«j„-(-Bj„,,
Bs„-, = Aî,
Gi„-i = Bï,,
il l'on lire
A3,, = «0-1- CU-t-.. . -ra^,,,
Bjii = Ai«î-i- Asiï^-t-. . --1- Aï,,-]»;,,, B2„i= Aoai-H A^aj-i-, . .-1- A2„-5aî,j,, G^ji = Bi «2-1- Bsaj-i-. . .-H Bi,j i «j,,, C2„|= B20s-i-,,.-^Bi„sa,„i.
LES FONCTIONS Si. 67
D'ailleurs, puisque les nombres «q, a,, a^, ... sont pairs, on a certainement, quel que soit l'indice /*,
A.^o (mod.î), B,.= o (moJ.4), C,-=o (moil. S),
et les nombres Dr, Er, . . - sont évidemment divisibles pai- 16, en sorte que les égailles (|î) entraînent les congruences (niod. 16)
L'avant-dernlère des égalités (8) peut s'écrire
Ci„ = (A5- A.c) B|+ {A^— Ai) B, + . . . + (Aî„— A^,,-,) R,,-,
= AoB| — A3(B,— Bi) — ...— ,Vj„-,(B2„i — Iîs„-a)-i-A.„B.,,,.
Si, dans le dernier membre, on remplace pour chacun des indices r=:2, 3, ..., n, la différence Ba^., — B^^-^ par sa valeur Ajr-î'ïar-i et B, par rto«i ^ Ao«i, il vient
G^„=-(iiA^ — fl^A|-...-.«2„^,Ai„5H-A,„Ii,„-,.
D'ailleurs on a, en général,
a,r-,Ah--i = ^"-ir-i''^^-r-^ ("lod. r6);
en effet, la différence a-^r-i A2r-s(A2,.-2 — 2) entre les deux membres est divisible par 16, puisque «ar-t est pair et que le produit des deux nombres pairs consécutifs A^r-^, A5r,.,^ 2 est divisible par 8. Ainsi, en négligeant les multiples de 16, la quantité «i Afl + «aÂj -I-. . . + «2H i Aj„j peut être remplacée par
^.(rtiA,-i-n3A,-i-...+ ai„-iA3„^2) --^hi„-,\
on a donc
