C.„s— 2Bi„-,+ A3„Bi,„i (mod. iC
On démontre exactement de la même façon la congruence
C2„i^ — 2B=„2-i-Ai,„.,,B2„2 (mod. rG).
Ces deux congruences permeltenl d'écrire la première c nière des congruences (e) sous la forme
Dans le second membre de la première de ces congruences, on peut remplacer B^n-t par ( -~ ( — t)"Pîn-i, puisque les deux quanlités ne diffèrent que par rin multiple de 16. De même, dans le second membre de la deuxième, on peut remplacer Bï«2 par
D'autre part, l'égalité
montre, en tenant compte de la dernière congrueuce (s) et de la congruence Gî,-! ^^o (mod. 8), que l'on a
<l2„ -'=-—(/'.:.- !— (— l)"<'!«Aî,i|.
Si le nombre pair Â|.„, est divisible par ::i, on a donc
Ç2;i^ — î?n-2 (mod. 8);
mais, dans la seconde congruence (ti), Bju.a est multiplié par le nombre pair As«i — ^î on peut donc négliger dans l'expression de Bj„2 les multiples de 8, et, par conséquent, remplacer B2„ï par I — ( — i)"ç2n- Si Aan-i était divisible par 2 sans l'être par 4, le facteur A3„i — a serait divisible par 4, et l'on pourrait négliger dans l'expression de Bj,,.^ les multiples de 4i comme «2», A-^n^i sont pairs tous deux, on a toujours
g-„^-îi«-. (moJ..n;
on voit donc que l'on peut encore remplacer B^,,... |>ar
Dès lors, les deux congruences (■/]) conduisent aux suivantes
LES FONOTIOKS &.
Mnlli plions ces deux cODgruences respectivement parpn„i, q^„; si l'on remarque que, en vertu des congriiences (e) et de la congruence B^^ o (mod. 4)i on a
^;" (mod. 8),
d'où, puisque A^,,, A^n., sont pairs,
on voit que l'on peut écrire
As„, ^ -- Çï„ Sa,,-, -H çï„ + g^. - 2(- O'^çj,. 1
Les seconds membres se rédulseiil, en tenant compte des congruences,
qui résidtent manifestement des congruences (e) el de la congruence Bji ^2 o (mod. i6), et l'on a finalement
As,, = cd-t'd''—\ 1
^ (mod. i(i).
201. Nous transformerons ces expressions de A;.,,, A2,;| moyen des congiiiences
} (raod. lO),
qui peuvent s'établir comme il suit.
70 CALCUL niFFËnENTIEL.
Ecrivons les jiiremlers membres sous la forme
(îa;i — P2n-i)(?2« + i's«-J + P!«),
Eq tenant compte des congruences (e), on voit que les deux ([uantités précédentes sont respectivement congrues {mod. 16) à
Il nous suffit donc de montrer que ces deux quantités sont divisibles par 16.
Pour la première, il n'y a évidemment iieu à démonstration que si Ton avait à la fois
!5a„,— Bs„=4 (mod. 8), A,„r^o (mod. 4);
mais, si l'on écrit la première de ces deux congruences sous la forme équivalente
]îi„,+ Bs„r^4 (mod. H),
on aperçoit tout de suite qu'elle est incompatible avec la seconde; car on tire de l'égalité
et des congruences (s) la suivante
B3„i + lS,„= A5„As„, (mod. 16),
«t cette dernière montre que, si A^^ est divisible par 4, Bn^^, -{- B^,, est divisible par 8.
On déduit aussi de la dernière congruence que l'on ne peut avoir à la fois
B3„i — Bï^iEs/, (mod. 8), A5,j i^o (mod. 4),
el les congruences annoncées sont établies.
Puisque a — d est divisible par 4, que i et c sont pairs, il est
clair que ces congrucnccs entraînent les suivantes I (û — </)(«-hrf±c) = o 1
on en tire
a-'àzac^d''±cd 1
(mod. 16),
nii les signes supérieurs se corrcspi Les deux expressions de A^,,, ê
et l'on a, par suite, dans !c cas lions
202. Il est facile de vérifier que, dans chacun des cas 2° à 6" du Tableau (XXo), la transformation t peut être envisagée comme composée de transformations (t + i), / j et de transformations rentrant dans le premier cas. Cela résulte du Tableau suivant, oii l'on a écrit, à gauche, le numéro correspondant du Tableau (XX^), et où, dans le second membre, figurent chaque fois dans l'ordre voulu les transformations qui, par combinaison, donnent la transformation t.
pondent.
^2ii-i peiiven
t donc aussi s'écrire
j (mod. 16)
1" du Table
au (XXO, les rela-
nr-t-fi'-
Wh
rf> 1
/£+rfu\ / d-t-(d — c)^
72 CALCtL niFFÉUËNTIEL.
On \oit bien, en tenant compte de la parité des nombres «, &, c, d dans cliacoades cinq cas considérés, qu'outre (" + i)î (~-)' les transformations qui paraissent dans le second membre rentrent dans le premier cas. Les transformations {-:-Hi)f ( )
changent d'ailleurs ^("ï) et '\{;t) en comliinaisons de ces fonctions que font connaître les formules (XLV).
203. A l'aide de cette remarque et des formules établies au n'-aOl pour^(T)et<|j(i:)danslc premier cas du Tableau (XX^), on obtiendra sans peine les mêmes formules dans les cinq autres cas de ce Tableau.
Prenons, par exemple, le cas 4" ■ «i b., c sont impairs, d est pair; la première transformation est t'=:3— -^, en supposant 7.=^ h, p = Z> — a, -^T^d, ù^d — c. On vérifie bien que o, ^, Y, S sont les coefficients d'une transformation qui appartient au cas i"; on a donc
en remplaçant t par , on a ensuite
puis, en remplaçant t par t + i ,
D'ailleurs, d^c étant impair, on a la congTuence
■i(d~cf^-i (raod. i6); d'où l'on déduit facilement ia congnieiice
{d—c)(;'.d — c —i = c{d~ c)-hi (mod. i6);
oii a donc finalement, dans le cas 4")
