SS

En répétant les mêmes opérations dans les quatre autres cas du Tableau (XX^), on obtient des formules analogues, et l'on a finalement pour la fonction (p{T), dans les six cas de ce Tableau, les formules de transformation suivantes :

âOi. Il n'est pas nécessaire, pour obtenir ces formules, de ramener, comme nous venons de l'expliquer, chacun des six cas au premier.

Nous avons vu au a" !

que l'on peut envisager la transforma-

tion ( T-j du cas 4°i où a, b, c sont impairs et d pair,

composée de la transformation (- — ^\, où a^b, ^^ d-

itnpairs, tandis que |3 ^= i tion qui rentre donc dans le i

, 'f =^ d sont pairs, transforma-

ei de la transformation

■ On peut de même envisager la transformation ( ■ , t " )

du cas 6", où a est pair, tandis que b, c, d sont impairs, c

composée de la Lransformation /

74 CALCUL DIFFÉRBNTIEL.

'f ^rr^d sont impairs, tandis que &^d — c est pair, transformation

qui rentre donc dans le cas i", el de la transformation ( ITt)'

de sorte que l'on a, dans le cas 6", non seulement la décomposition de la transformation (t) donnée au n" 202 en une transformation qui rentre dans le cas i", suivie des transformations (- + i), ( K mais aussi la décomposition

de cette transformation (t) en une transformation qui rentre dans le cas 4", suivie de la transformation ( — — — )■

On verrait exactement delà même manière que l'on peut envisager les transformations ( r- ) des cas i°, 3", 5°, a" comme résnl-

tant de la composition d'une transformation (^^ — q-Ji où a = i, ^=b — a,y = d, S = rf — c, transformation qui rentre respectivement dans les cas 6", 2°, 3°, 5°, et de la transformation

Observons d'ailleurs, sur l'exemple An numéro précédent, que

la formule pour tpf ■ -j^ 1 s'obtient, dans le cas i", à l'aide de

la formule pour tp f ■ j— J, snpposéc connue dans le cas i°, en

changeant dans celte dernière formule simultanément a, b, c,

d, -;: en h, b — a, d,d^c, — -■ Les mêmes changements

simultanés permettront donc aussi, lorsqu'on connaîtra une des formules relatives aux cas 4°) on 6", ou a", ou 3", ou 5", d'écrire immédiatement la formule relative respectivement aux cas 6", ou 1°, ou 3°, ou 5", ou a". Il suffit donc d'avoir les formules relatives aux cas i" et 5", par exemple, pour avoir toutes les autres.

Le même raisonnement s'applique aux diverses décompositions indiquées dans le n" 202. Le Tableau suivant résume les résultats et permet de passer des formules qui concernent l'un quelconque des cas du Tableau (XXc) à celles qui concernent les autres cas. Dans les cinq premières lignes on a écrit, à côté des lettres a, b, c, d, T, les expressions qui doivent les remplacer : en regard de

LES FOBCTIOKS -

ces expressions eL à côté des n"^ i", 2°, 3°, 4"i S", 6°, on Irouve les numéros des cas qui remplacent respective mcnl ces sis cas.

205. Les formules relatives à la transformation linéaire de la fonction '\{') pourraient s'établir exactement de la même manière; le Tableau précédent s'applique aussi bien à la fonction i|'(x) qu'à la fonction ^(t}.

D'ailleurs, on peut passer directement des formules relatives à la fonction fp(-r) à celles qiii concernent la fonction '|'{'t) par la

76 CALCUL DIFFÈBENTIEL.

remarqiic suivanLe, rj^uc nous développerons sur le cns i". Dans la formule

cliaiigcons t en ; elle devient

Si l'on applique au premier membre de cette formiilc la relation

en supposant t -= — ^-^ — ^. on trouve

Si l'on remplace maintenant a, b, c, d pai' — cf, c, b, qui nous laisse dans ie cas 1°, on obtient les formules

([Ul

sont bien celles du n" 201.

En raisonnant de la même façon, on voit que si l'on change «, b, c, d en — d, c, b, — a et simultanément (p en iJj et i en «i chaque formule relative à la fonction f conduit à une formule relative à la fonction ifi; mais on ne reste pas toujours dans le même cas du Tableau (XXg); on reconnaît facilement que l'on passe des cas 1°, 2", 3°, 4°) 5°, 6° aux cas i", 3", 2", 6", 5", 4°-

On obtient ainsi pour la fonction i (t), dans les six cas du Tableau (XXfl) les formules de transformation linéaire suivantes :

n^rzir, ='

206, Nous récrirons ci-dessous les formules reklivcs aux fonc- Lions a ("ï) el '{'{t), en ne conservant d'ailleurs, pour chacune d'elles, qu'une seule forme. Le symbole ( - ), où n est un entier impair, est emprunté à l'Arithmétique; nous aurons l'occasion d'y revenir au n° 228; il est mis à la place de ( ^ ^ ( — i) ' , Nous rappelons encore une lois que i" , où m est un enller quelconque et n un entier positif, est mis à la place de e -" .

(:)rï*,„

(SF,k

(îj.-Tt,,,

œ^^ri^i

75 CALCUL DIFFÉUENTIEL.

207. II est à peu près inutile de dire que les différentes façons dont on parvient à ces formules donnent naissance à une suite de congniences (mod. i6) entre les nombres a, h, c, d, relatives aux différenis cas du Tableau (XX^). Par exemple, dans le cas 3", on a, enlre autres congruences, les suivantes :

(c -h d)i~ a - b -h c -h d) -i- ab =. o, i

cla-hib + c -i-d') = o, , , ^,

' ' } (mod. i6).

d{-a-^b-i-c-hd)~b{a — c), [

ta^c)(a^ic) = d(c + d) = l-i-b{a-d), \

Elles peuvent être vérifiées en distinguant les nombres cuticvs a, b, c, d suivant leur reste modulo 4- Quelques-unes d'entre elles se déduisent d'ailleurs des autres en ne distinguant ces nombres entiers que suivant leurs restes modulo 2.

En tenant compte, dans chacun des six cas du Tableau (XXo), des congruences correspondantes, on peut mettre les formules de transformation linéaire des fonctions f (~) et ■^{■^) sous plusieurs formes équivaienles à celles des Tableaux précédents. Ainsi, dans le cas 3°, on a, par exemple,

208- Pour obtenir les formules de transfori cernant la fonction x('-) dans le cas i" du Tableau (XXu), nous suivrons une méthode moins directe que pour les fonctions »(-7) etJ-(T).

Rappelons tout d'abord que, dans ce cas i", on a

où l'on a posé, pour abréger,

quand nous voudrons mettre en évidence le? nombres ti, b, c, d

LES rONCIlONS &.

dont dépend },, nous écrirons, an lien de ).,

Observons aussi qu'en remplaçant, dans l'égalité

et, par suite,

Inversement, si l'on détermine une fonction, entière à coefficients entiers \ qui vérifie ces deux congruences, quel que soit le nombre pair ara, pourvu que a, b, c, d soient des nombres satisfaisant aux conditions du cas i", et qui, enfin, se réduise à zéro dans le cas où a, b, c, d sont les coefficients de la transformation identique, c'cst-à-dirc lorsque l'on a

il est clair que cette fonction ), pourra être prise pour la fonction î. qui vérifie l'égalité

En elFet, toute transformation du cas i" peut èlre obtenue en faisant suivre la transformation identique d'un certain nombre de transformations de la forme (t-1- an) ou (-37 )■