Nous commencerons par déterminer une fonction L de

a, 6, c, d qui vérifie les congruences {i\) suivant le module i6; nous transformerons ensuite cette fonction L en une autre qui lui soit congrue suivant le module ï6 et qui vérifie les congruences (ïi) suivant le module 3; cette dernière fonction pourra être alors prise pour)., car elle vérifiera manifestement les congruences (tj) suivant le module 48-

Gomme les formules de transformation des fonctions fp(T) et i(';) dans le cas i" du Tableau (XXc),

donnent immédiatement pour l'exposant ). de ia formule de iran s formation

\^(^cd-\-d^ — l) + i—ab-^a?—i) (mod.i6),

il est naturel de se demander si en prenant pour L l'express cd — ab -\- d- -^^ a'' — a, les congruences {ti) sont vérifiées t vant le module i6.

On le voit immédiatement, dans le cas où le nombre pair y. n divisible par 4- En remplaçant alors -. par -. — a dans les ég lés (Q, on obtient les relations

^^a+nb-^b-z,

■c + nd-hdi:'

Si donc on prend pour L l'expression

<cd+d"~r)^{-aO + a"~i)

el si l'on désigne par L, ce que devient L lorsqu'on clia ? + «, on a l'égalité

i., — L = n]d^+i~b''-v--iab-\-nb'^\.

De méioe, en remplaçant, dans les égalités (ÏJ), ' par

en désignant par L^ ce que devient alors L, on a l'égalité

U — L = ii{—c"—2cd-hiic^-+-a^-hi).

De ces deux égalités on déduit immédiatement, puisque », 6, c sont pairs et a, d impairs, les congrtiences

qui mettent bien en évidence que les congruences (ï,) sont vérifiées, suivant le module 16, en prenant 'k = L.

Ainsi, dans le cas oi\ n est pair, toute fonction congrue à cd — a& -H «^ -H <^^ — a, suivant le module 16, et s'annulant pour n = i,t? = i,&:=o, c = o, pourra être prise pour X, si elle vérifie les congruences (y|) suivant le module 3.

Or, en vertu des diverses valeurs trouvées pour A 2,) , A^,,.!, on a les congruences

L = <^{c-6)4-2(</i — i) = a(c-è)H-2(ni-i) (mod. 16), el, par suite, puisque a el d sont impairs,

L^d(c — b)~aic~b) (mod. iG).

B'uii autre côté on a, à cause de l'égalité ad — bc -^ i, les con-

d(Oc + ,)-a=id--i)a^o I ^^^ aibc-t-i) — d={a^~i)d^o ) '

d'où l'on déduit, en multipliant par !e nombre pair b — c,

ib~c)<abc — d)-i-a(b-c) = o ) ^'"^ ' "■^' On a donc aussi les congruences

L^{b — c)(bcd—a)^{b~c)(abc — d) (mod. 16).

D'ailleurs les deux fonctions

(6 o)(M-<,), {b-,)(abo-d) sont congrues suivant le modnle 3 ; en effet leur diffcrence est ib-c){a-d){ic+,) = {i~e)(a-d)ad.

Sa CALCUL DIFFERENTIEL.

et l'un des facteurs h — c^a — d,a,d est nccessairement divisible par 3, car s'il en élail autrement il faudrait que l'on eût à la fois

£, e' étaut égaux à ± i ; on en déduirait

i = ad - bc = — i'^+ z'^ = ti (mod. 3), ce qui esl absurde -

On aura donc vérifié que, pour n pair, l'une ou l'autre des deux fonctions (b — c){abc — d), {b — c){bcd — a) peut être prise pour la fonction \( ' |> si l'on constate que l'une ou l'autre de ces fonctions satisfait aux congruences

\c+2nd, d) \c, d)

La vérification de ces deux congruences est particulièrement aisée, si l'on fait porter la démonsiration sur [b — c){bcd — a) pour la première, sur (6 — c)(abc^ d) pour la seconde. On a alors à établir les deux congruences, suivant le module 3,

(b~o — y.nd)[bdc—a-i-Q.nb{d^-i)]~{b'~c){bdc — a)-2ii^.o, (^b-c-%na){abc~d^i>ic{a^-V)\-ib-c){abc-d)-~>.ii^o,

ou, en supposant n premier à 3,

- i.nbd{d'^—\)-~d{bdc - «) -h b{b- c)(d^~i)-i = o. -^ tnac{a^~ i) — a{abc — d) ~ c{b ~ c){a^ — i) — 1 ^ o;

or les nombres d{d'^ — -i), a{a^ — i) sont divisibles par 3 puisque ce sont des produits de trois nombres entiers consécutifs; on a donc à établir les deux congruences

^a(,abo~d) — c{b — c)(<t2 — i) — i s o ) En retranchant des deux membres la quantité ad—bc — i,

elles prennent la forme

"• "- ' I (mod.3).

Si a est divisible par 3 ou si tî est divisible par 3, l'égalité ad — èc= I montre que l'on a

d'où l'on conclut que Z* + c est divisible par 3. La vériiicalion annoncée est donc faite.

âiO. Nous nous sommes bornés jusqu'ici à considérer le cas où le nombre pair an est divisible par 4; mais il se peut que n soit impair et dans ce cas la démonstration précédente est en défaut, comme on le voit en observant qu'alors les substitutions •F = -^-\-n et I =: ne rentrent pas dans celles du cas i" du Tableau (XXo)-

II nous reste donc encore à vérifier que, pour n impair, les congruences (tj) ont lieu suivant Se module 48 lorsque l'on prend pour \ successivement chacune des deux expressions

(b — c)(bcd—a), {b — c){abc^ d).

La démonstration est la même que tout à l'heure, lorsque l'on envisage les congruences (t;) suivant le module 3 ; il suffit donc de vérifier que l'on a, pour n impair, les quatre congruences, prises toutes quatre suivant le module i6,

{h -- c — ■>.nd)\bd{c -^- :tnd)- i a -¥■ ■f.nb)'\ — iO~ c)(bdc ~a)-~ ■>.n^o. (h-c~^na)\ib-^na){d~-inc)c-a}~{b^c)(bdc-a)—i.n^o. (b^ c-înd)l{a + 7.nb){c+ind)b -d]—(b~c){abc-d)- an^o, {b-c-2>iaj[{b~2na)ac~(d~^nc)]-{b-c)(abc-d)-^n^o.

Cette vérification n'offre aucune difficulté si l'on tient compte de la relation ad — 6c =^ i et de ce que, « et rf étant impairs, b

84 CALCUL DIFFÉllKNIIEL.

et c pairs, les quatre nombres ci-— i, rf- — r, h(p ^ ■j^'-f^ ^(c-i-a) sont divisibles par 8.

211, Nous avons ainsi démontré que dans le cas i° du Tableau (XXk), où a, d sont impairs et b, c pairs, on a les relations

En nous reportant au Tableau du n" 197, qni montre comment on peut décomposer dans les cinq autres cas la transformation t en

transformations (tt + i),) 1 et en transformations [^ — ^^oixa., S

sont impairs et p, y pairs, en faisant usage de la formule précédente et des formules (XLV) ainsi que de la relation ad — bc = i et de la parité des nombres a, b, c, d, on peut obtenir les formules de transformation linéaire de la fonction ^{t) dans les cinq autres cas.

On a ainsi, dans !e cas 2°, la relation

que l'on peut écrire, en tenant compte de la formule (XLV/ de la relation ad — hc = \,

La congruence

bd{d'^—C}~ij (mod.48)

est manifeste, puisque b est pair et d impair. La congruence

h\h — %c){d''—i)T^o (mod. 48)

qui est manifeste quand d n'est pas divisible par 3, puisqu'alors d"^ — I est divisible par 24, résulte, quand d est divisible par 3, de la relation ad — bc =: i qui entraîne les deux congrucnccs

bc — — i (mod. 3), b--^i (mod. 3).

Dans le cas 2", la formule de transformation de la fonction

LES FONCriOWB .J.

y(T) se présente donc sous la forme très simple

iiui est Loulc semblaiiie à l'une des deux relations dii cas i^. Dans le cas 5", on a iinmédiatemenl

Dans le cas 4", les calculs sont tout aussi simples, si l'on passe du cas 5" au cas 4" à l'aide duTableau du n° 204. On oblienL ainsi la relation

liii tenant compte des deux congruences

qui résulient immédialemenl de ce C|ue dans le cas /]", d est pair, b impair, et de ce que l'on a ad — bc^=i, celte relation [jcul s'écrire

212. On pourrait de même déduire de diverses manières, à l'aide du Tableau du q" 204, les formules de transformation linéaire, relatives aux cas 3" et 6", des formules établies dans les cas i °, 2°, 4°, 5°. Mais on arrive plus rapidement au résultat de la manière suivante ;

Dans la formule relative au cas 2°, où a, c, d sont impairs et b pair, à savoir

cbangeons -: en ; nous aurons

x{Sî)^

applir[iions «ensuite la lornuile

en prenant

la relation précécîcntc deviendra

elle i-enlre toujours dans le cas a". Changeons maintenant a, b, c, c? en — li, c, b, ■ — a; nous aurons

et celte formule rentre dans (e cas 3", puisque a, c, d sonf, impairs, b pair.

En raisonnant de la même manière sur la formule relative au cas 4°, on voit qu'en changeant dans cetle formule a, b, c, d en ^ d, c, b, — (*, on obtient la relation

où b, c, d sont impairs et a pair et qui rentre donc dans le cas 6°.

Les mêmes changements simultanés de a, b, c, d en — d, c, 6, ^ a transposent donc entre elles les formules relatives aux cas a" et 3" et les formules relatives aux cas 4" et 6°; ils transposent aussi entre elles les deux formules relatives au cas i" et les deux formules relatives au cas 5".

213. En résumé, nous avons obtenu, dans les six cas du Tableau (XXc), les formules de transformation linéaire de la fonction /(t) que l'on trouve réunies dans le Tahlean suivant ;

i FONCTIONS ^

■'zM t(')

âli. Si l'on observe que les nombres enliers a, b, c, d, liés par la relation ad — bc^f, vériflentles congruences

= (ô — c){a6c — d) = — crf — M— acH-6cM j

et que, dans le cas oà a, e\ d sonL impairs, /> et c pairs, ils \'érifient aussi les congruences

{b-c){bcd--a)^{b — c)(abc-d)^Z{a-'d'—-\) — ^{ab-cd) (mod. i6).

de sorLe que l'on a

{b — c){abc — d)

E=i6(— crf — M-

l-6c=(^)-4-3[«îrf^-i) — 9(»6 — cti) I

(moci.,i8).

'^{b-c){bcd^a)

= i6(a& -4- ac + bd — ab''c)-^Z{a--d^—i) — ç, (ab — cd) )

on volt que, dans le cas i° du Tableau (XX^), les formules de transformation que nous venons d'obtenir peuvent èlre remplacées par les suivantes :

De même, si l'on observe qrie les nombres impairs a, c, d et le nombre pair i, liés par la relation ad — bc := i , vérifient la con-

(b - c) (bcd — a) = Z{at— i) -hgiah-^ cd) -;- 8 (mod. i6), de sorte que l'on a

on voit que, dans le cas 2", ia formule de Irans forma tien linéaire de la fonction 5^(') peut s'écrire

En changeant dans ces deux formules a, b, c, d, 1 en b, — a, d, ~~ c, — - ! on obtient les formules de transformation linéaire de la fonction x('^)i ^^'^^ l^s cas 5° et 6°, sous la forme suivante :

Enfin, en changeant dans les dernières formules relatives aux cas 3° et 6°, a, b, c, d en — tZ, c, b, — «, on obtient les formules de transformation linéaire de la fonction '/{") dans les cas 3" et 4" sous la forme suivante :

/cA-dx\

-cd) x(t)

âl5. Les congruences

— «6 — a^bd^ab — ah^ c \

cd + acd'' ■^ — cd + ^ic' rf W mod . 3 ),

— cd — bd — ao'i-bo'^d'^ab + ac + bd — ab'^c ]

ayant lieu quels que soient les entiers a, b, c, d liés par la reîa-

(XLVIj)

LIS FONCTIONS ». Sy

tlon ad — &c = 1 , on a, en résumé, dans les six cas du Tableau (XX,),

où l'on a posé

Ce soat les formules mêmes de M. Hermile, tandis que le Tableau (XLVÏg) est celui de M. Schllifli.

VI. — Détermination, en fonction des coefficients <3e la transformation linéaire des fonctions S, des racines liuitièmes de l'unité qui figurent dans ces formules de transformation.

216. Nous avons vu (n" 149) que toute substitution linéaire à coefficients entiers et à déterminant -H i peut être obtenue par répétition et combinaison des deux substitutions

et de leurs inverses.

En suivantla marche indiquée au n° 150, il est d'ailleurs facile, chaque fois que les coefficients de la substitution linéaire ont des valeurs numériques données, d'effectuer la décomposition de celle

|0 CALCUL BIFFÉRENTIËL.

■uljsliUiLÎon en snbstil.utions

ei en substitutions inverses. Une fois eeUe décomposition effectuée, on n'a plus qu'à appliquer, dans un ordre déterminé, les formules de transformation du paragraphe précédent pour obtenir, dans le cas particulier considéré, les formules de transformation linéaire des fonctions Sr et, par suite, les racines huitièmes de l'unité e, s', e", e'".

Mais on peut chercher à s'affranchir de cette décomposition préalable de la substitution linéaire donnée. Â cet effet, nous établirons, en nous plaçant avec M. Dedekind ( ' ) au point de vue de la fonction h(T), des formules qui donnent explicitement e, et, par suite s\ s", s'", en fonction des coefficienls entiers a, b, c, d de la transformation linéaire

217. Si l'on prend les dérivées, par rapport à v, des deux membres de l'égalité (XLU)) et que l'on pose ensuite c ^ o, il vient

(a) . v'ÏTT^^ S', (o I t).= ^^^ &; (o I T).

En tenant compte de la relation

et en extrayant les racines cubiques dans les deux membres de l'égalité (a), on obtient immédiatement l'égalité

où E^ est une racine vingt-quatrième de l'unité que nous allons déterminer en fonction de «, b, c, d.

C) Itiemann's Werke, v édition, Nachlass XSVII, 2. Fragmente uber die Grens/àile der elliptiacken ModuîfuncUonen.

Dans le cas où h est nul, celle détermination esl immédiate. EQeffet,régalitéarf— /'C = i exige alors que l'on ait, soit rt = (^^i, soit a^^d ^^—i et l'on peut se limiter à la première alternative, puisque t ne change pas quand on change le signe des quatre nombres a, b, c, d. On a alors

et, par suite, (XLV)), d'après la formule

218. Nous supposerons dans !a suite 6 difFcrcnt de zéro : « + 6t n'est alors jamais réei.

La constante e'' n'est susceptible que de vingt-quatre valeurs; elle ne dépendra donc pas de t si l'on a défini y/« + b-^ comme une fonction univoque et continue de t pour les valeurs de t représentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles, valeurs qui sont les seules que nous ayons à considérer ici,

A cet effet on pourrait, puisque a + Z>t est toujours un nombre imaginaire, prendre comme argument de a + bi un angle différent de zéro, compris entre — it el + tc, et pour s/a + bx la valeur imaginaire correspondante, dont l'argument est compris entre

et H — I en sorte que la partie réelle de \Ja-\-b-z soit positive.

Mais il y a avantage à substituer à y/a + b-z une quantité qui ne change pas, non plus que t, quand on remplace «, 6, c, d par — a, — b, — c, — d: à la place de sja -t- ft -c on mettra \J — {a H- frt)- . qui n'en peut différer que par un facteur égal à une racine huitième de l'unité, puisque les valeurs absolues de \Ja~\~b-z et de ^/— {a + bi)'^ sont égales et que les arguments de ces quantités ne peuvent différer que par un multiple de - ■ Cette racine huitième de l'unité, multipliée par s^, reproduit une racine vingt-quatrième de l'unité. Qnant à \/ — (a -H bzy, elle sera définie comme il suit : — {a-\~b-zY "'est jamais un nombre négatif, puisque le carré d'un nombre imaginaire a~[-bx ne peut être un nombre positif; dès lors on peut prendre comme argument de — («ï + bx'f

9» OALCtL DIFFÉKElsrlEL.

nn angle compris enlre ^t: et +7t, et pour^/ — («+ ^■c)'^ la valeur correspondante , dont l'argument esl compris entre — j et + - ■

Eotre les deux fonctions s/ ~ {ci -\- b\)- et y'a+fr-c, précédemment définies, on aies relations

OH il faut prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que b est positif ou négatif. En effet, si b est positif, l'argument de « + ^T peut être regardé comme compris entre o et ft, puisque le coefficient de i dans a -{- b-z est positif; l'argument de la quantité y/a+feT, définie comme précédemment, sera donc compris entre o et -> et l'argument de e ^ \/a-\- b-r sera bien compris

entre — - et -\- y comme celui de \/ — (a + 6t)^ . Le raisonnement est le même quand b est négatif.

Quoiqu'il en soit, la fonction \/ — (a + bx)'' définie, comme nous venons de le faire, est univoque el continue pour les valeurs de T représentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles, et, si l'on écrit, au lieu de l'égalité (§), l'égalité

oà Ê| est une racine vingt-quatrième de l'unité, il est évident, par le raisonnement du n''181, que s, ne peut dépendre de t; en sorte que l'on peut remplacer la formule (y) par celle-ci :

(S) h(T) = e^ î/~(fl +-6"^li{^),

N étant un nombre entier indépendant de t qui, lorsqu'on se donne a, ft, c, d, n'est d'ailleurs déterminé par cette formule qu'à un multiple près de 34. Nous allons donner de ce nombre N une définition précise.