C.AI.C(.'T. IUFFÉREP

de la relation (XX[V,),

a a ensuite

'■(•!;)= iàfi"'"''-"»''

9oUàH-4î*?ï)

lijj(')-aui')l-

puis, par le changement de v en c H — ,

V?i — ^'î'zli)

il'où l'on conchu les foi-mules

/ ixy aa.(i.)a.(>)

^'^^" M»|:-) "" M»lo '

et les relations

XLVIH.) ( S>(^oU)=,j3,(o)a.(o),

3s(ojî) = as(o)+9î(o),

1 3i(oij) = 3|(o)-3î(o).

LES FONrnONS &.

qui équivalent au:

X siiivanLes :

/ Qi = ?(î., o'i-îi?!,

(XLVino

) 2îgîl = Qo'[Qî*-i-Q3'].

donl les deux premières onl déjà été établies au n" 244.

On peTit vérifier que les rulalions (XLVIII^) sont, au fond, identiques aux relations ( XLVTI)) ; on passe des unes aux autres en changeant -u en --

248. Les relations (XLVII2) qui lient algébrique ment les quantités q, qa, q,, q^, q^ aux quantités Qu, Qi, Q», Qî et les relations (XLVIlIa) qui lient algébriquement les quantités Q', Q[,, Q'it Qî' Q's ^"^ quantités qa, qi, q^, q^ pennetient d'établir des formules intéressantes concernant la transformation quadratique des fonctions modulaires b('î), 3{t), 'Î'(t), x('ï)- La définition de la fonction h(Tr) donne

en élevant les deux membres au carré et en faisant usage de la relation (XXXVl,), ^'2(0) ^ açoiy'î'ï on a donc

(XIJX,) 2hH3T)=h(^)&,(0).

On a de même

d'où, en faisant usage de la relation 2r,(o)--i qaq\,

(XLIX,) h^(^)=.h(^)2r.(o).

En changeant dans cette dernière égalité t en -: + i . et en faisant usage des égalités (XLIILs) et (XLV,),

on a aussi

yGoosle

249. Si l'on icsoul par rapport à g,, q.^, q^ les éi]\wlions(XXXVni,,,, 5)qiiidéCmsseiilo(T), >K-), xW. on tton«

eti

l'on aura de même

En portant ces valeurs dans les relations (XLVIIi)

on tronve, après des rcducliojis immédiaLes, les trois formules

yix'(') ?'(')?'(")- ï'(a')[>~t'(x)l-

A canse de la relation ^'{t)— <f(T) 'Î^(^), la première de ces formnlcs pent s'écrire

(XLIXO <.(2t)ç(T)„;/Jï(,)x(«);

en éliminant 'j^^H^)' "^ a ensuite, i» l'aide des deux autres formules, les relations

(XIJXO ,,i(")"

A cause de la formule 'j:'{t)H- '^s(-:)= i, on a aussi

J'oii l'on tire, on extrayant, la racine carrée et en observant que les deux membres doivenl être positifs pour t purement imagi-

LES FOliCTIONS S.