Les mêmes formules s'appliqueraient aussi aux

nombres >\^^, '^,+31 ■ • ■ 1 ''«-n qu'il faut adjoindre aux nombres j-, , r-i, . . . , '\^ pour former la suite complète /■, , /"s, . . . , r„, .

En supposant la première égalité LI2 écrite pour ces valeurs de /■ et en multipliant membre à membre avec ceUe même égalité,

On a aussi, pour les mômes valeurs de /■,

D'ailleurs, on voit tout de suite que les différences

ne changent pas quand on remplace les nombres r par d'autres qui leur soient respectivement congrus suivant le module n, puisque les différences

ne changent pas quand on augmente r de 11. D'autre part, si l'on prend pour les nombres r les nombres

les deux différences que l'on s'est proposé d'évaluer sont respec livement égales à

les quantités E (- ] 1 E (- — —\ sont, en effet, nulles pour toute

l34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ces valeurs de /■, sauf la première, qui, pour les valeurs négatives de /■, est égale à — i. On a donc finalement, en remarquant que les nombres ^r, V - sont en même temps pairs ou impairs,

équent, en se reportant aux valeurs des quantités a, ,

U,(»,|„„„(,)""^^a,(.,ns.(. + J).

On pourra prendre, en particnlier, pour les nombres /', , r->, ..,, /■„!, une suite telle que

'•i, '■î. .■■. '■pi-iî — '■i' — '"ai ■ ■ ■' — ''» - 1 .

aucun des nombres /■, , 1:2, .. ., r^^ n'étant divisible par /i, non

plus que !a difTéreacc ou la somme de deux quelconques d'entre

Jl convient d'observer que Jes quatre formules que l'on vient

LKS FONCTIONS 3. l35

d'établir peuvent être déduites de l'une quelconque d'entre elles, en y remplaçant i> ^av v [• -t i> -h :;• ''-! -— •

258. Nous avons déduit les expressions des quali-e fonctions 3, (rtc j n^) , &«(/!<■ I «t) des expressions de d ( u — ' . W;, i , ^^lu\~, mA. Il n'est pas inutile d'observer que ces expressions peuvent s'obtenir tout aussi facilement, et même d'une façon plus rapide, en partant des formules qui donnent les fonctions 3 décomposées en facteurs. Au fond, l'analyse que nous allons indiquer d'après Jacobi (' ) ne diffère pas de celle qui précède.

Partons, par exemple, de la formule (XXXII,)

Ou eo déduit

&s('ï^i"^)-Q.lJ['-H'2 7"<-=''-"cos2ftrTr-i-5'"(^v-i)l.

])'un autre côté, si l'on décompose en facteurs du second degré en q le polynôme de degré 2n,

dont ou a immédiatement les racines, on trouve (^)

En changeant dans cette identité q en q^'^~' el en l'appliquant à chacun des facteurs qui iigurent dans le produit infini on trouve immédiatement

('] WEftKli, t

(') C'est l'idt

l36 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ot l'on en concUu

Le lecteur a d'ailleurs, dansceqiiiprécède, tout cequiest nécessaire pour appliquer la même analyse aux trois autres fonctions Sî ; on peut aussi déduire ces trois autres formules de celle que l'on vient d'établir.