II
!Îj1„.,.,^-2S,
On a ;
mssi les relations
suivantes
(LU,) • M l'I
(|ui résultent immédiatement du calcul des quantités b,, ba.+i, si l'on prend poiir ;■ îes nombres ± r^, rt. r^, . .., r^. r„i.
Comme on a d'ailleurs
on pourra exprimer SWo — Ji Sln.,.! ( o - j , au moyen de &i(o), ^«+'(")' ri^'(^)' IT^«+i(^)' ^**"^ laissons au lecteur le soin d'écrire ces formules.
267. Les formules (XXVIl,), qui exprijnent les fonctions rf f î(, (Oi, " 1, rfaf « (ù|, — 1 au mojen des fonctions du, ^aC
LES FO^XTlo^^s S. i45
nous permettent d'exprimer aussi les fonctions 3 f f - 1 au moyen des fonctions 2l{i>). En passant des rf aux 3 à l'aide des relations (XXIII,^), et eu remplaçant, à l'aide des relations (XKXIX3), les produits {6» — e^)(eH — «ï) par les quantités &J„(o), on obtient aisément les formules suivantes :
'.H^)-=ïF-.<«)n
=*'('l-;)-S^'<"nh'"-^(^i('')
268. En changeant, dans ces formules, c en c4--i c-+--j V + — ~, on obtient six expressions pour chacune des fonctions 3(c -1 au moyen des fonctions Sf{i'[T); elles se réduisent à trois, si l'on tient compte des relations (LIIo).
On remarquera d'ailleurs que les deux problèmes qui consistent à exprimer les fonctions 3(nc | nx) au moyen des fonctions 3(f[T), et les fonctions Stic — j au moyen des fonctions 3(i> I t) ne sont pas réellement distincts ; on ramène l'un à l'autre par des transformations linéaires. En effet, pour exprimer les fonctions Sfi' -1 au moyen des fonctions 2î(c[t), on peut exprimer les fonctions 3( c - ) au moyen des fonctions 2i( — )
(c'est une transformation linéaire); puis, exprimer les fonc-
l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
lions Sr f ■ — 1 au moyen des fondions & ( - — ;; ) (c'est le
premier des deux problèmes); puis, enfin, exprimer les fonetions
2r(- 1 au moyen des fonctions !t;(;'lT) (c'est encore une
transformation linéaire).
269. En se reportant aux définitions des fonctions modulaires et aux expressions des produits
X moyen de q, Qh, Qa pour les uns, de q, q'^, q'a pour les autres 1 obtiendra immédiatement les relations suivantes :
^ Ml ''""n^.(;)'
min)
'w-is)'
i.ES l'OMCTioxs 2i. 147
nK?)
270. Il importe de remarquer que, puisqu'oii sait exprimer les fondions 3(nv|m:), 3(cK) au moyen des fonctions &(c|-:), OQ sait, par cela même, exprimer, au moyen des fonctions â((î|T;), les fonctions 3(«c|t); ces dernières, en effet, sont des fonctions entières, homogènes et du ii''""' degré des fonctions
3(c - }i comme le montrent les formules (Ll5 8)i et les fonctions S / c - 1 sont des fonctions entières, homogènes et du n'^"" degré des fonctions Sr(i'|'c), comme le montrent les formules (LU); les fonctions 3(/ic) sont donc des fonctions entières, homogènes et du degré n^ des fonctions 2r(i'), Cette conclusion subsiste même si n est pair, comme il est aisé de le voir en pensant aux formules relatives aux transformations de Landen et de Gauss. Si l'on se horne au cas où n est impair, on obtient des formules équivalentes à celles dont nous venons de décrire la formation, en combinant les formules (LI^) et (UI;), où les expressions des fonc-
CALCUL DIFFÈttENIIEL.
tions S(nc|»7), Srfc — 1 comporteot chacune un produit de n fonctions St d'argiimenls difFcrcnts; l'expression de chacune des fonctions S(rac|-[:) comportera ainsi un produit de «^ fonctions S; oû trouve, en effet,
i.o.(,»)=(~.)S'nf'("*^ï)'
T supposant
et en ayant posé, pour abriSgcr,
271. Il est hon de jeter maintenant un coup d'œil d'ensemble sur les résultats obtenus dans les précédents numéros.
Que n soit impair ou pair, les fonctions S{nc| «t), 3( f — 1 sont des polynômes entiers homogènes, du degré n par rapport aux fonctions 3{i' | tt), choisies convenablement. On peut dès lors regarder comme résolu le problème suivant :
Étant donnés quatre nombres entiers, a, b, c, d, dont le déierminant (S> = ad^bc est positif, exprimer les fonctions S(c|t) nu moyen des fonctions S(v | t), en supposant
Reportons-nous, en effet, aux résultats obtenus dans les n"^ 130-
LES FOMCTIOSS S. 1(49
133; reprenons les nolatîons employées alors et rappelons-nous que nous ne considérons plus que des transformations à déterminant positif; on pourra énoncer le théorème suivant.
II existe, d'une part, deux nombres entiers positifs X, jt, assujettis seulement à vérifier la condition
et à avoir pour plus grand commun diviseur le plus grand comm.u.n diviseur des nombres a, è, c, d; d'autre part, deux systèmes a, p, Y, S ; a', P', y, V de nombres entiers, vérifiant les conditions
a convaincre, de supposer, dans les i
mais, en vertu de la théorie de la transformation linéaire, les fonctions S(i'|t) ne diffèrent que par un facteur exponentiel et par des facteurs constants des fonctions
ces fonctions sont des polynômes homogènes et du degré \ par rapport aux fonctions
qui, en vertu des égalités précédentes, sont identiques aux fonctions
et ces dernières sont des polynômes homogènes et du degré <j. par rapport aux fonctions
K^lfel^).
l5o CALCUL DlFFÉnENTIEL.
qui ne diffèrent que par un facteur exponentiel et par des facteurs constants des fonctions Sl{v |t).
Finalement, les fonctions £ï(c|t), à part un facteur exponentiel qu'il serait bien facile de calculer, sont des polynômes homogènes, de degré Xjj. =: ad — 6c par rapport aux fonctions Sr(v | t). Le théorème du n° 130 conduit donc bien à l'expression des fonctions S(c I ~) au moyen des fonctions 3{v | t), et l'on voit clairement le rôle des nombres X, \>. et l'avantage que présente leur introduction. C'est toiitefois par des opérations arithmétiques exécutées sur les entiers a, b, c, d qu'on obtient ces nombres X, a, et il serait évidemment très intéressant d'avoir l'expression explicite, au moyen de ces nombres et des données, des polynômes en 3(v I t), expression dont nous venons d'établir l'existence. C'est, toutefois, Tin problème que nous n'aborderons pas ici (' ).
